對“坡角多大,圓柱體在水平面滾得最遠”一文的商榷

李 康

(蘇州工業園區金雞湖學校,江蘇 蘇州 215000)

文獻[1]刊登了“坡角多大,圓柱體在水平面滾得最遠”一文.原文作者針對蘇教版4年級《數學》上冊“綜合與實踐”(同一圓柱體從固定長度的斜面頂端自由滾下,探究坡角分別為30°、45°及60°時,圓柱體在水平面上滾動的距離),[2]先后基于以下6個觀點(節選),從理論角度驗證教科書中實驗結論(坡角為45°時,圓柱體在水平面上滾動的距離最長)的可靠性.

觀點1:不考慮斜面的摩擦力,圓柱體沿斜面運動時,同時具有平動動能和轉動動能.

觀點2:到達水平地面的圓柱體,其動能因克服地面的摩擦力做功轉化為內能,故同一圓柱體滾動的距離取決于它在水平面的初速度.

觀點4:不論質量怎樣均勻分布,圓柱體滾動距離最遠的坡角θ=35°保持不變.

觀點5:若圓柱體滾動時受到斜面摩擦,雖然滑動摩擦做功,但坡角θ=35°保持不變.

觀點6:考慮空氣阻力時,滾動距離最遠的坡角θ>35°,即實驗探究所得結論正確.

筆者認為,以上觀點和邏輯論證值得商榷,現從以下4個角度展開分析,供大家評判.

1 斜面上的動力學分析

1.1 不考慮斜面的摩擦力

圖1

受力分析如圖1,圓柱體沿斜面運動時受重力mg和支持力N的作用,即圓柱體質心沿斜面做勻加速直線運動,但各力對質心的力矩均為0,因此,圓柱體的角加速度為0,在下滑過程中只發生平動不發生轉動(觀點1錯誤).正是由于摩擦力的存在,圓柱體才能滾動起來,而原文中的推導都是在滾動情況下討論的,故斜面的摩擦力不能不考慮.

1.2 考慮斜面的摩擦力

圖2

1.2.1 圓柱體做純滾動

受力分析如圖2,圓柱體沿斜面運動時受重力mg、支持力N和摩擦力f的作用,設圓柱體的半徑為R,其質心沿斜面向下運動的加速度為a,圓柱體繞質心轉動的角加速度為β.根據質心運動定理有

mgsinθ-f=ma.

(1)

由于圓柱體繞質心轉動,根據轉動定律有

fR=Iβ，

(2)

a=βR.

(3)

由(1)-(3)式可得

由(6)式可知,圓柱體所受的摩擦力僅與坡角θ、質量分布k有關,而與接觸面的情況無關,這是因為做純滾動時,接觸點速度為0,圓柱體與斜面之間的摩擦力實際上是靜摩擦力.設最大靜摩擦力fm等于滑動摩擦力,則

(8)式即圓柱體在斜面上做純滾動的條件.

由(7)式可得圓柱體與水平地面發生碰撞前的質心速度為(假設圓柱體尺寸遠小于斜面長度L)

當然,(9)式也可從能量角度直接得到.由于圓柱體做純滾動,接觸點速度始終為0,靜摩擦力的瞬時功率始終為0,故靜摩擦力不做功(觀點5錯誤),重力勢能全部轉化為平動動能和轉動動能,有

將純滾動條件v=ωR帶入(10)式可得(9)式.

1.2.2 圓柱體做滾滑運動

若(8)式不能成立,圓柱體沿斜面將做既滾又滑的滾滑運動,接觸處的摩擦力變為滑動摩擦力,因此,重力勢能不僅轉化為動能,還有一部分轉化為內能Q,仿照(10)式有

由于滑動摩擦力做功與坡角θ有關,故(11)式求得的速度v(θ)函數關系比(10)式復雜得多,后續求極值也就不同,因此,對應滾動距離最遠的坡角會發生改變(觀點5錯誤).為了討論的方便,本文只考慮純滾動情形.

2 碰撞時的動力學分析

原文中,圓柱體與地面碰撞瞬間,轉動動能及水平向前的平動動能沒有損耗,而豎直向下的平動動能全部轉化為內能,即圖3中分速度vx和角速度ω保持不變,分速度vy消失.如此一來,碰撞后質心速度vx=vcosθ<ωR=v,即圓柱體與水平地面的接觸點速度不為0,該點相對地面速度向后,因此,圓柱體在接觸處受到向前的滑動摩擦力,直至達到純滾動狀態(觀點3錯誤).

圖3圖4

受力分析如圖4,根據動量定理有

fΔt=m(v0-vx).

(12)

由于滑動摩擦力對圓柱體質心有力矩,根據動量矩定理有

聯立(9)、(12)和(13)式可得

3 滾最遠的坡角理論值

當圓柱體在水平地面上達到純滾動狀態時,受到重力、支持力和靜摩擦力的作用,但3個力都不做功,因此,圓柱體的動能并非克服靜摩擦力做功消耗,而是滾動摩擦阻力偶矩做了功,它才最終停下來(觀點2錯誤).根據古典滾動摩擦定律定義的滾動摩擦因數μr，有Ek=μrmgs,代入(15)式得

由(17)式可知,在水平地面上滾最遠的坡角θ與質量分布k有關,對不同的圓柱體有k∈(0,1],坡角θ∈(35°,48°](觀點4錯誤).特別地,薄壁圓柱殼k=1,θ=48°;均質實心圓柱體k=0.5,θ=42°.

4 實驗與理論對比分析

如圖5是利用薄壁圓柱殼、實心圓柱體(用密度相近的橡皮泥填充中空部分,k≈0.5)實驗數據擬合的s-θ圖像.由圖可見,在水平地面上滾動最遠距離的坡角θ會隨著k值的變化而變化.當然,薄壁圓柱殼的坡角實驗值接近理論值48°,而實心圓柱體的坡角實驗值接近44°,與理論值42°存在一定偏差,這是內部填充材料的密度不能保證和PVC完全相同所致.

圖5

如圖6是f(θ)隨θ變化的函數圖像,比較圖5和圖6發現,對于薄壁圓柱殼,當坡角小于50°時,兩圖變化趨勢較吻合.當坡角過大時,滾動距離s比f(θ)減小更快,這是因為(16)式中的滾動摩擦系數μr不僅與材料性質和表面狀況有關,現代摩擦學理論認為它還與彈性滯后損耗、法向載荷及圓柱體幾何尺寸有關;另一方面,坡角越大,圓柱體沿斜面運動速度越大,空氣阻力的影響就不能忽略不計,因此,滾動距離隨坡角的增大而減小更快(但空氣阻力對滾動最遠距離的坡角影響不大,不能驗證“考慮空氣阻力后,坡角應取45°”的實驗結論,觀點6錯誤).對于實心圓柱體,由于滾最遠距離的坡角實驗值比理論值要大,即k值大于0.5,因此,s-θ圖像比f(θ)更偏上.

圖6

綜上所述,原文中的觀點1、3、4錯在剛體模型與質點模型的混淆,觀點2、5錯在摩擦的類型及作用判斷不清,觀點6的提出并未理論證明,且與實驗結果矛盾.以上是筆者在閱讀原文后提出的不同觀點,供大家參考,不當之處請指正.