用電流密度分析渦旋電場中導體回路的電勢與電勢差

郎 軍 董洪瓊

(重慶市第十一中學校,重慶 400061)

1 問題

渦旋電場本身不是保守場,不能引入電勢的概念,但在渦旋電場中存在導體回路時,要在導體壁“感應”出電荷分布,從而在導體內、外建立起穩恒電場,因而仍然可以引入電勢和電勢差的概念.在參考文獻[1]中,趙堅老師和北大趙凱華先生對此已講得非常清晰．現在中學教師普遍關心的是,導體回路內穩恒電場強度怎樣定量計算?用場強的線積分計算出的電勢差與用電路分析算出的電勢差是否一致?

2 分析

2.1 穩恒電場的特點概述

設有一大塊導體位于渦旋電場中(渦旋電場強度設為K),在渦旋電場力的作用下,導體內的自由電荷要發生定向移動,在導體內壁附近,K的法向分量會使導體壁上聚積電荷,產生附加電場(電場強度設為E),合場強為K+E,只要合場強K+E在導體內壁附近的法向分量不為0,自由電荷都還要受法向力,從而使電荷分布繼續改變,達到穩定狀態后,合場強K+E在導體內壁附近的法向分量必然處處為0．導體上的電荷分布也保持穩定,它產生的電場E被稱為穩恒電場,與靜電場(庫侖場)有相同的性質．

對于由細導線組成的閉合回路,可以認為導線內各處的電流密度j的方向都沿導線的切向,由j=σ(K+E),可以認為細導線內各處合場強度

K+E的方向都沿導線切向,即法向分量抵消(Kn+En=0),因此有j=σ(Kt+Et)．如果細導線粗細均勻且材料的電導率σ為常數,由電流強度相等還可得Kt+Et的值在同一支路中處處相等.如果電導率σ和細導線的橫截面積S不相同,則在同一支路中σ(Kt+Et)S為不變量．

2.2 實例分析

圖1

2.2.1 實例1

如圖1所示,在虛線圓形區域內有隨時間t均勻增大的勻強磁場,B=ct,c為常量,在磁場中同心放置一個半徑為R的圓形導體回路．導體回路由材料1(σ1,l1,S1)和材料2(σ2,l2,S2)串聯而成,圖中A、C為連接點．試求A、C間的電勢差UAC．

方法1:根據電路分析求解.

方法2:借助電流密度求解.

根據本文2.1的分析,導體表面的“感應”電荷及A、C交界面上的累積電荷共同激發的穩恒電場要確保回路內任一點K+E沿導線的切向,考慮到本問題的對稱性,回路中K只有切向分量,因此可以確定,在回路內兩種介質內部各處的E也只有切向分量,并且同一介質中E的切向分量大小相等,分別設為E1和E2(以逆時針方向為正)．

由電流的連續性可得

σ1(K+E1)S1=σ2(K+E2)S2.

(2)

由靜電場環路定理有

E1l1+E2l2=0.

(3)

由(2)、(3)兩式解得

A、C的電勢差

對比(1)、(6)兩式,結果相同．

討論:(1)若σ2S2=σ1S1,則E1和E2都為0,導線內無靜電場,導線表面和A、C處分界面也無電荷分布,整個空間都無靜電場,也可以說靜電場強度處處為0,因此各處等勢,導體上任意兩點間都會無電勢差．這種情況下用前述的方法1計算也可以得到導體上任意兩點間電勢差都為0．

圖2

(2) 若σ2S2>σ1S1,則E1>0,E2<0,在A、C兩處分別會有正、負電荷聚積,同時在導線表面電荷分布的調節下,穩恒電場的電場線大致如圖2所示(僅是示意圖且將導線橫截面做了放大處理)．σ2S2<σ1S1的情況可同理分析．

2.2.2 實例2

圖3

如圖3所示,在虛線圓形區域內有隨時間t均勻增大的勻強磁場,B=ct,c為常量,在磁場中偏心放置一個半徑為R的圓形細導體回路,兩圓心的距離設為d,導體回路材料的電導率為σ,粗細均勻,橫截面積為S．試求導線環上哪兩點間的電勢差最大,并求這個最大電勢差的值．

解析:

① 求電路中的電流密度j.

② 求導體回路上任一點K沿回路的切向分量.

r2=d2+R2+2dRcosθ,

d2=r2+R2-2rRcosα,

化簡有

K的切向分量為

Kt=Kcosα.

(9)

化簡得

③ 求導線回路內各點的穩恒電場強度E.

設切向分量沿逆時方向為正,則

j=σ(Kt+Et).

(11)

由(7)、(10)、(11)式得

各點E和K的法向分量處處抵消,即Kn+En=0,由此還可求得回路內各點穩恒電場強度E的法向分量．

④ 求最大電勢差.

根據(12)式,在圖3中A點和D點Et=0;在DGA段,回路內Et<0,沿順時針方向;而在ACD段,回路內Et>0,沿逆時針方向;可見回路中A點電勢最高,D點電勢最低,A、D間電勢差最大．

(13)

當d=0,即兩圓同心放置時,Et=0,Umax=0,回路上任意兩點都是等勢的．

3 結語

在渦旋電場的導體回路中談電勢和電勢差,指的是因渦旋電場在導體上“感應”的電荷產生的穩恒電場的電勢和電勢差．利用本文介紹的借助電流密度矢量的方法,可以求出細導線回路中各點的穩恒電場強度E(導線外部空間的穩恒電場強度卻不易求出),再求穩恒電場強度E沿導線路徑的線積分,可以求得導線上任意兩點的電勢差,算出的結果與用傳統的電路分析算出的結果一致.這不僅表明了導線內穩恒電場的存在,在渦旋電場中的導體回路中談電勢和電勢差是科學的,也證明求導體回路中電勢差的傳統方法是正確的．