衰落信道下的信源數目估計方法

王艷溫,郭 楠

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.陸軍航空裝備發展辦公室，北京 100012)

0 引言

信源數目估計[1]對盲信號分離和超分辨測向的性能影響較大。盲信號分離方法[2-3]一般是以信源數目已知為前提，但實際應用中信源數目未知，需要進行估計。當信源數目欠估計時，只能分離出部分信號，導致信號信息的丟失；當信源數目過估計時，導致盲分離算法失效，無法正確地分離信號。因此信源數目估計在盲信號分離中起到了十分重要的作用，它直接關系到盲分離算法的正確性和穩定性。在超分辨測向中[4-5]，信源數目估計也是必須的。信源數目過估計時，源信號子空間的維數高于實際值，使得之后計算出的空間譜出現偽峰；源信號數目欠估計時，源信號子空間的維數低于實際值，使得之后計算出的空間譜的譜峰消失；這樣導致了源信號子空間與噪聲信號子空間同樣不再正交，最終估計的空間譜與實際的信號之間出現較大偏差。

信源數目估計不單單在盲信號分離和超分辨測向中有重要的作用，在戰場、刑偵、檢測及圖像等實際問題中，同樣具有很大的應用價值。而現有較成熟的基于信息論、最大似然及線性預測等信源數目估計方法均是利用白噪聲信號模型推導出來的，僅適用于白噪聲條件。但在實際中，由于多徑干涉、外界環境等各種因素的影響，導致接收信號的幅度相位出現較大程度的抖動，接收信道[6-7]不再是理想的高斯白噪信道，而變成衰落信道。在衰落信道下現有信源數目估計方法的性能下降嚴重。因此，對衰落信道下的信源數目估計方法進行研究有著十分重要的理論和實際意義。

1 瑞利平坦衰落信道下信源數目估計方法

對于瑞利平坦衰落信道[8-11]下的信源數目盲估計，其問題的關鍵在于利用噪聲分布已知的特性來進行判斷。較為成熟的算法有AIC、MDL和PET算法[12-13]。AIC、MDL算法雖然不需要人為設定判決門限，但是其利用噪聲滿足高斯分布的特性，估計收斂性較差。PET算法在性能上較之前兩種有很大改進，但是它需要人為設定判決門限。根據這些經典算法已有的固有缺陷，本文提出了基于Wishart矩陣[14-15]最大特征值分布特性的估計算法(WME)，該算法利用高斯隨機矩陣特征值以較快的收斂速度漸進服從精確的TW分布這一特點，進行信源數目盲估計，并可獲得較好的性能。

利用陣元個數為M的天線陣列接收數據計算協方差矩陣，對協方差矩陣進行特征值分解得到特征值并按降序排列，利用隨機矩陣理論構造檢測統計量，求解判決門限，確定檢測統計量屬性，估計得到信源個數N。

天線陣列接收數據的協方差矩陣R：

式中，E[·]表示數學期望，上標H表示復共軛轉置，X(i)表示第i次快拍的天線陣列接收信號，L表示快拍數。

對協方差矩陣R進行特征值分解，得到M個特征值，滿足：

λ1>λ2≥…≥λM-1>λM。

設置虛警概率Pfa，并令k=1；

計算檢驗統計量Uk：

計算判決門限γk：

式中，FTW2(x)表示第二類Tracy-Widom分布函數[16]的逆函數，μM-N,L和εM-N,L為歸一化參數，其表達式如下：

在計算判決門限時，需要計算分布函數FTW2(x)的逆函數。目前在數學領域，Tracy-Widom分布函數的閉合表達式是很難得到的。在實際工程應用中，FTW2(x)的逆函數計算結果大多是通過查表的方式獲得。

判決：

如果Uk<γk，則lk∈Ls，k=k+1，重新計算檢驗統計量Uk+1；

如果Uk>γk，則信源個數N=k-1。

2 頻率選擇性衰落信道下信源數目估計方法

以上所提到的一系列經典算法包括WME算法都只適用于瑞利平坦衰落信道環境，而頻率選擇性衰落信道[17-19]更貼近于實際的通信環境，因此有必要對在頻率選擇性衰落信道條件下的信源數目估計算法進行研究。基于此提出了一種基于對噪聲功率精確估計的假設檢驗[20]估計算法(FKN)。具體實現步驟如下：

步驟1：計算天線陣列接收數據X(t)的協方差矩陣R：

步驟2：構造檢測統計量

Ⅰ 對協方差矩陣R進行特征值分解，并將分解得到的特征值按降序排列：λ1>λ2≥…≥λM-1>λM，其中,λk表示按照降序排列的第k個特征值，1≤k≤M。

步驟3：求解判決門限值γk

γk=F-1(1-Pfa)εL,Nr-k+μL,Nr-k，

式中，F-1(1-Pfa)表示第二類Tracy-Widom分布的逆累積分布函數，Pfa表示預先設定的虛警概率，歸一化系數為：

步驟4：確定檢測統計量屬性

如果檢測統計量Uk大于判決門限γk，則將檢測統計量Uk判定為信號統計量；

如果檢測統計量Uk小于判決門限γk，則將對應檢測統計量Uk判定為噪聲統計量。

步驟5：確定信源數目N。

3 仿真驗證分析

3.1 瑞利平坦衰落信道

在瑞利平坦衰落信道條件下，對信源數目估計經典算法AIC、MDL、PET與所提WME算法的正確估計概率進行了對比。仿真條件如下：

·信源數目：4；

·陣元數：16；

·噪聲特性：瑞利分布色噪聲；

·信噪比范圍：-10～5 dB；

·采樣點數：50～600；

·蒙特卡洛次數：1 000次。

WME算法的估計概率隨信噪比變化曲線如圖1所示，WME算法的估計概率隨采樣點數變化曲線如圖2所示。

圖1 WME算法估計概率隨信噪比變化曲線

由圖1可以看出，WME算法在低信噪比條件下的正確識別率要高于PET和MDL算法，稍遜于AIC算法，但是由于AIC算法是非一致算法，在較高信噪比條件下無法收斂于1。

圖2 WME算法估計概率隨采樣點數變化曲線

由圖2可以看出，WME算法在樣本數40以上的性能優于MDL算法，在更少的樣本數下優于AIC和PET算法。

3.2 頻率選擇性衰落信道

在頻率選擇性衰落信道條件下，對提出的FKN信源數目估計算法的性能進行了仿真分析。仿真條件如下：

·工作頻段：1.5～30 MHz；

·信源數：2～4；

·陣元數：8；

·信道條件：多徑數為3、最大延時≤0.05 ms、最大反射系數為1的頻率選擇性衰落信道；

·信噪比：-8 ～8 dB；

·采樣點數：10～300；

·蒙特卡洛次數：1 000次。

FKN算法的估計概率隨信噪比變化曲線如圖3所示，FKN算法的估計概率隨采樣點數變化曲線如圖4所示。

圖3 FKN算法估計概率隨信噪比變化曲線

圖4 FKN算法估計概率隨采樣點數變化曲線

由圖3可以看出，在頻率選擇性衰落信道中FKN算法在低信噪比條件下能夠達到較高的估計概率，且隨著信源數目的增加，達到估計概率100%所需的信噪比越高。

由圖4可以看出，在頻率選擇性衰落信道條件下，FKN算法的估計概率高于AIC和MDL，且樣本數在50以上就能達到100%的估計概率。

4 結束語

在瑞利平坦衰落信道和頻率選擇性衰落信道中，針對現有信源數目估計方法在低信噪比條件下估計效果差、高信噪比條件下容易出現過估/欠估、算法收斂較慢的特點，提出了具有快速收斂特性的基于小樣本的信源數目估計算法，通過仿真分析所提算法具有較好的估計性能。本文的研究成果可用于短波、超短波等偵測系統的盲信號分離和測向處理中，能夠有效提高偵測性能。