一元線性回歸分析和有效應用

文 李會芳

一、一元線性回歸分析基本原理

一元線性回歸的數學模型為y=β0+β1x+ε。其中，變量x對因變量y的影響可以用（β0+β1x）表示出來，β0和β1是待定參數，ε則表示其他不確定因素對y造成的影響，通常來說ε是無法確定的，一般將ε假設為方差為σ2，期望是0的正態分布。

回歸分析在實際中的應用其實就是一個求解未知數的過程。它通過給出的一系列樣本數值對待定參數β0和β1進行精確估計，并將估計值用β0'和β1'來表示。在計算時采用最小二乘法對估計值進行計算：

計算所給出樣本值的平均值，再將相關數據帶入上述公式，就可以利用最小二乘法計算出β0'和β1'的值，最后將得出的數值帶入一元線性回歸的數學模型即可。

二、一元線性回歸分析的有效應用

（一）一元線性回歸分析在經濟中的應用

利用一元線性回歸分析可以對生活中的一些經濟關系進行分析，它是經濟預測中常用的方法之一。本文以財政收入和GDP之間的線性關系分析為例來對一元線性回歸分析在實際中的應用情況進行探討。下面是某十年國家財政收入占國內生產總值的比重圖：

財政收入所占的比重第一年 34634.4 4348.97 12.5第二年 46759.2 5218.12 11.1第三年 58478.3 6242.30 10.8年數 國內生產總值（億元）財政收入（億元）第四年 67884.5 7407.98 10.8第五年 74462.5 8651.20 11.7第六年 78345.6 9875.96 12.7第七年 82067.3 11444.10 13.8第八年 89468.5 13395.26 14.9第九年 97314.6 16386.06 16.7第十年 104790.5 18903.66 18.1

財政收入和國內經濟生產總值之間有直接的關系。下面以財政收入為自變量x，國內生產總值為因變量y，建立一元線性回歸模型來對兩者之間的關系進行具體的分析。

假設財政收入x和國內生產總值y的方程為：y=β0+β1x1，將上表中的數據輸入電腦中，利用SSPS軟件進行線性回歸分析得出下表。

參數 標準差 估計值 擬合度 t財政收入 5690.412 5.110 0.944 3.339常數項 0.552 19044.809 9.250

由上表可以得出β1'=5.110，β0'=19044.809，擬合度為0.944，所以財政收入和國內生產總值的線性方程可以寫為：

從擬合度就可知線性顯著，所以上述方程成立。可以看出，財政收入和GDP之間成正比，這說明GDP能夠迅速增長和財政收入的增加有很大的關系。

（二）一元線性回歸分析在工程預測進度中的應用

將一元線性回歸分析應用于進度控制當中，可以有效地對工程進度進行預測，從而實現有效的事前控制。

用xi來表示打樁工程的i天，用yi來表示到第i天工程的完成量。設線性方程為y=β0+β1x1。用最小二乘法計算得β1'=17.88，β0'=0.93，所以天數和完成量之間的關系為：

通過上式，我們就可以預測出10天以后第i天在置信水平下對應的完成總量的值和能完成工程量的可能性，從而合理安排每日的工程量。

綜上所述，一元線性回歸方程在實際生活中有著很廣泛的應用，除了上面的兩個應用，它還可以有效應用于預測保險費收入、業務開支、舵機故障診斷等各個方面，有著很大的實際意義。