分類討論在初中數學教學中的應用

單蘭花

（蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學，江蘇蘇州 215021）

分類思想主要是將研究對象合理分類，并進行相應的分析討論，再歸納得出結果。分類討論是深入研究問題較常用的手段，需要人們在實踐中了解、掌握解答問題的思路和技巧。在數學教學過程中，分類討論方法的運用范圍相對廣泛，如有理數、不等式、絕對值、圓的位置關系、等腰三角形、圖形位置關系、含字母的方程等。本文主要對分類討論思想在初中數學教學中的應用進行分析。

一、分類討論在坐標與圖形中的應用

分類討論思想在坐標和圖形中的應用較多，教學的重點通常集中于坐標系中各種圖形的變化方式，并將坐標與三角形、雙曲線、矩形以及拋物線等結合。同時，將分類討論的方法應用于坐標圖中，有助于題目靈活變換，并能有效培養(yǎng)學生的想象力。

例1：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為，點M為坐標軸上的點，并且△MOA是等腰三角形，則滿足相應條件的點M有多少個？

本例題主要考查等腰三角形的判定、圖形性質、坐標、分類討論以及數形結合等數學知識。分別以O、A為圓心，以OA長為半徑作圓，與坐標軸交點即為所求點M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標軸的交點也是所求的點M，作出圖形。采用圖形分析，得出結論為6個。見圖1。

圖1

例2：如圖2，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形OABC的A、C坐標分別為（10，0）、（0，4），OA的中點為點D，點P在BC上可移動，當△ODP為腰長為5的等腰三角形時，點P應該在哪個位置？

圖2

本例題主要考查坐標與等腰三角形的性質、圖形的性質以及勾股定理等知識，并且需要應用到分類討論來對題目問題進行解答。點P屬于不確定點，應用等腰三角形的性質分三種情況來討論，再采用勾股定理便可解出P點的坐標。△ODP的腰長為5，可有3種情況：當P點在D點的左邊時，若PD=OD=5，得出點P的坐標為（2，4）；若OP=OD=5，P點的坐標為（3，4）；當P點在D點的右側時，PD=OD=5，P點的坐標為（8，4）。

二、分類討論在等腰三角形中的應用

涉及等腰三角形的問題經常需要分類討論，并且中考出現(xiàn)的概率相對較高。該類型題目通常會出現(xiàn)三角形腰長與其底邊長的比較，或頂角與底角的比較等。相對復雜的等腰三角形問題，主要結合圓形或者坐標等知識來綜合考查。而由于綜合題目具有一定的難度，學生需要掌握等腰三角形的性質以及核心內容。

例3：已知（a-1）2+∣b-2∣=0，a、b為等腰三角形的邊長，此等腰三角形的周長應為多少？

本例題主要考查偶次方、絕對值以及三角形的性質，難點在于解題的思路。應用分類討論來分析問題的結果，并且進行相應的說明，更有助于學生理解。首先根據平方、絕對值可計算出a、b，即a=1，b=2，再根據三角形三條邊之間的聯(lián)系，即兩邊之和大于第三條邊，兩邊之差小于第三條邊，即得出此等腰三角形的腰為2，底為1，周長為5。

例4：已知等腰三角形的一個角為80°，求此等腰三角形的頂角度數。

本例題主要對等腰三角形的底角度數相等、三角形的基本性質等進行考查，運用定理：三角形內角和等于180°，即可解答問題。此等腰三角形的頂角可直接為80°。當三角形的底角為80°時，其頂角應為180°-80°×2=20°。由此可知，此等腰三角形的頂角可為80°，也可為20°。

三、分類討論在動點型題目中的應用

動點型分類討論題是中考題中常出現(xiàn)的壓軸題，同時也是難度相對較大的題目。想要解決此類大題，學生需要了解數學基礎知識，并熟悉、掌握、運用坐標、三角形、圓形以及運動理論等相關知識。同時，還需先尋找出問題的關鍵詞，掌握題目的變化量以及運動要素，以便更好地解決問題。

例5：射線QN和△ABC的兩條邊AB、BC相交于M、N，并且AC//QN，AM=MB=2cm，且QM=4cm。動點P從Q點出發(fā)，沿著射線QN以1cm/s的速度向右邊移動，t秒之后，以點P為圓心，以 3cm為半徑的圓形與△ABC相切，兩圖形的切點在其邊上，求出t可選擇的一切值。

應該結合等邊三角形的性質、切線的性質來對題目進行解答。題目中已知△ABC為等腰三角形，并且AM=MB=2cm，點P從Q點出發(fā)，沿著射線QN以1cm/s的速度向右邊移動，會出現(xiàn)3種切線情況。利用切線的性質、直角三角形的勾股定理、等邊三角形基礎知識，以及速度、時間、路程之間的關系進行解題，即可得出t=2，t=3和t=7，t=8；隨后，對其進行分類討論分析，便可得出答案為t=2或7≥t≥3或t=8。

本例題主要考查等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理以及切線的性質等知識。在解答題目的過程中，需要注意對題目進行分類討論和分析，并對得出的結果進行總結和歸納，且在計算出結果之后，需要再一次對結果進行驗證，以保證答案的準確性。

四、分類討論在圖形拼接中的應用

在對幾何圖形進行拼接的過程中，需要合理應用分類討論方法，必須注意拼接的合理性，即需要從問題的角度以及已知的長度方面來進行配合，不能夠任意拼接；同時，需要仔細觀察拼接后得出的圖形，然后對拼接前的切線進行合理的規(guī)劃。

例6：一張含一個30°角，并且最小邊長為2的直角三角形紙，沿著圖片中的中位線剪開后，再將兩個小紙片拼接為一個平行四邊形，拼接得出的平行四邊形周長為多少？

運用三角函數可得出BC=4，AC=23，再通過中位線的性質得出AD=CD=3，BF=CF=2，DF=1，隨后再進行拼圖，可得出圖3顯示的結果，即一個可拼接成矩形，一個可拼接成平行四邊形，隨后即可計算出拼接圖形的周長，其周長為8或4+23。

圖3

本例題主要考查圖形的拼接，其解答的關鍵就是根據題目要求來畫出需要的圖形，然后再對題目進行全面的考慮。對題目進行分類討論的同時，合理采用數形結合的方法，有助于快速而正確地對題目進行全面的總結和歸納，從而有利于快速得出正確的計算結果。

總之，分類討論思想在數學教學過程中使用的頻率相對較高，在解答問題時，需要深入理解，掌握問題的本質，并對解題的思想和方法進行相應的研究，從而才能發(fā)現(xiàn)數學中的不同點和相同點，也才能對數學題目進行分類研究。注意，在分析的過程中，需要做到不重復、不遺漏，對于問題要學會進行合理、科學的分析，然后將計算得出的結果進行分類總結，并對得出的答案進行驗證。