矩陣求逆方法研究

王安盛　史衛娟

摘 要 矩陣是大學數學中很重要的一個內容，在《高等代數》中我們學習了矩陣的一些基本知識及應用，而矩陣求逆的方法是矩陣中一個很重要的部分，那么如何判斷一個矩陣是否可逆，怎樣快速的去求解矩陣的逆，前人也總結了一些非常實用的方法。基于以上基礎，本文結合自身所掌握的知識，結合一些有代表性的例子進行說明，研究切實可行。為了更便捷地解決求矩陣的逆，本文根據不同矩陣的不同特點簡單介紹了幾種求逆矩陣的方法：定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法。

關鍵詞 矩陣；逆；方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）07-0240-01

一、矩陣求逆的方法解析

（一）初等變換法

如果矩陣A為可逆矩陣，那么該矩陣必然會被表示成許多初等矩陣相乘的形式， ，因此，如果矩陣為可逆矩陣，那么它一定可以通過行列變換變成初等矩陣相乘的形式。

（1）

所以 = （2）

將A，E兩個矩陣結合在一起，形成一個n×2n階的矩陣，則：

（ ， ）=（ ） （3）

由此能夠求出逆矩陣A-1。

（二）伴隨矩陣法

定理1 如果矩陣A是可逆矩陣，那么矩陣A必然為非退化矩陣，而

= （ 0） （4）

（三）矩陣分塊求逆法

在進行矩陣的求逆時，如果矩陣的維數比較高，那么計算量會非常的巨大，這就給求逆計算帶來了很多的困難，將大矩陣分解成小的矩陣，然后對小矩陣進行求逆，求出小矩陣的逆按照一定的計算規則便可以得到大矩陣的逆，這是一種常用的求逆方法，對于提升大矩陣求逆速度具有十分重要的意義。

公式：設 的分塊矩陣為： ，其中 為可逆矩陣，那么

=

（5）

（四）多項式法

例1.5 ，且f（x）= ，即 ，證明A是可逆矩陣，求出矩陣A的可逆矩陣。

證明：因為 ，所以A（- 1/3 A +5/3 E）= E

因此 是可逆的，同時

（五）公式法

公式法是一種利用公式求逆的方法，通過代入相應公式可以準確求出結果。

（1）若矩陣階數為2，則其逆矩陣公式遵循兩調一除原則：若 ，則

（2）初等矩陣求逆公式：

（3）若矩陣的主對角線及其上方元素均為1，則該上三角矩陣的逆矩陣如下：

若 ，則

（4）正交矩陣求逆公式：

已知A是正交矩陣，那么A-1=AT

（5）其他常用求逆公式：

已知 均是可逆矩陣，那么

二、結論

以上我們對矩陣的逆有了更深層的理解，在以后解決有關逆矩陣的問題時要學會靈活運用。逆矩陣基本概念必須掌握，這是基礎，幾種逆矩陣的判定方法和求逆矩陣的方法也要熟練領會。在解決問題時，不要盲目亂用，而要因題而異，選擇適當的方法，將會是事半功倍的。同時也要挖掘更多的矩陣逆的應用，讓逆矩陣論更廣泛，更完善。

參考文獻：

[1]李炯生.輪迴矩陣的逆矩陣[J].數學的實踐與認識，1981（02）： 31-37.

[2]高軍.某些特殊循環矩陣的逆[J].數學通報，1990（08）：34-36.