四色問題

宋民振

摘要：四色問題是近代世界三大數(shù)學(xué)難題之一，指任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。利用橫向交替循環(huán)加縱向交替循環(huán)證明，可以完美的對四色問題做出證明。同時避開了暴力舉證的不足。

關(guān)鍵詞：四色；橫向循環(huán)；縱向循環(huán)

所有國家不得出現(xiàn)分割，交叉，飛地，現(xiàn)象。在不違背前題的條件下，邊界可以任意彎曲，延伸，變形。

共識：所有國家的邊界都是閉合圖形。（可以把每一個國家的邊界，想象成一個完全閉合的繩子，可以在平面上擺出任意封閉的幾何圖形。）

作圖Q：取任意國家做圖W1。相鄰W1作圖H1，H2，H3，H4，^，至無限多。作圖W2，W2包圍并相鄰W1，H1，H2，H3，H4， ^ 。（因?yàn)樽C明的要涵蓋所有可能圖形，所以W2本身也可以分化為無限交替重復(fù)，這點(diǎn)在后續(xù)推導(dǎo)圖中有說明。為了簡單明確和容易理解，這里采用單一圖形，縱向交替重復(fù)。）作圖W3，與W2之間可以有無限多橫向相鄰國家，每一縱向相鄰國家與前縱向相鄰國家之間隔，有無限多橫向相鄰國家。以此類推 ^ ，無限重復(fù)。

本文符號說明：A，B，C，D，代表四種顏色 。W縱向國家 。W1，W2，W3，W4，^ ，縱向國家編號。H橫向國家。H1，H2，H3，H4，^ ，橫向國家編號。^ 省略號，∞ 無窮大，未標(biāo)注符號與國際符號通用。

證明：W1=A，W2=B，W3=A，W4=B， ^ ∞， 形成縱向無限交替循環(huán)。H1=C，H2=D，H3=C，H4=D，^ ∞， 在顏色A與B 之間，C與D組成橫向無限交替循環(huán)。兩種交替循環(huán)可以擴(kuò)展到無限大的平面，也可以縮小到無限小的一個點(diǎn)。所有圖形組合都不會出現(xiàn)相鄰顏色重合。所以四種顏色完全夠用。

每種交替循環(huán)各自需要兩種顏色，至少需要不相同的四種顏色，來組成橫向與縱向兩種交替循環(huán)，少于四種顏色必然會出現(xiàn)重色。

圖Q是理想化的，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模壿嬊逦膱D形。所有的圖形都可以看做圖Q的局部部分。任意圖形的周圍排列次序最終會出現(xiàn)交替循環(huán)的排列順序。

推導(dǎo)出圖Q的過程說明：

作圖（1）：先以任意一個國家作圖W1，邊界可以任意彎曲，延伸，著色為W1=A，相鄰圖W1作圖H1=B，相鄰W1，H1作圖H2=D，圖H3=C，圖H4=D， 圖H4之后可以有無限多國家。

證明：W1=A，H1=B，H2=D，H3=C，H4=D， H5=C， ^ ∞，后續(xù)可以有無限多國家，顏色可以在C或D之間，形成無限交替循環(huán)，不會出現(xiàn)相鄰?fù)?/p>

圖（1）每個圖形的外邊（外邊界尚未封閉）還都可以進(jìn)行無限延伸，因此會出現(xiàn)圖（2）a1。

即W2與H1，H2，H3，^ ∞，相鄰，不重合，H6與剩余所有國家（有無限多個國家）相鄰，并且W2每增加一個相鄰國，H6則對應(yīng)減少一個相鄰國，（可以有無限多種組合）。

圖（2）a1：W1=A。W2=B。H1=D， H2=C，H3=D，H4=C，H5=B，H6=D，H7=C， ^ ∞，W1與W2之間形成C，D，交替循環(huán)。W1與H6之間形成C，B，無限交替循環(huán)。

W2增加延伸至H5，得到圖a2。對應(yīng)改變后續(xù)國家顏色，H6=C，H5=D，H7=B， ^ ∞，W1與H6之間就可以得到D，B，無限交替循環(huán)。同理，后續(xù)類似無限組合都可以得到無限交替循環(huán)證明。

同理，中間增加W7與W1，H4，H5，^ ∞，相鄰。得到圖{2}b。A7增加一個國家，H6減少一個相鄰國家。證明：W1與W2之間有C，D，交替循環(huán)，W1與H7之間形成的D，B，交替循環(huán) W1與H6之間形成B，C，交替循環(huán)。^∞ ，同理后續(xù)可以增加無限多（類似H7）國家，都可以形成無限交替循環(huán)，證明可重復(fù)。

圖（2）b中H1可以延伸邊界至H3，形成圖（2）c。圖（2）c中H3≠C=D。H1在W1與W2之間形成了隔層。W1與W2之間有C，D，交替循環(huán)，W1與H1之間有B，D，交替循環(huán)，W1與H7之間有C，B，交替循環(huán)，W1與H6之間形成B，D，交替循環(huán)。W1可以繼續(xù)延伸，與后續(xù)任意國家，形成隔層，類似重復(fù)組合可以生成無限種，適當(dāng)調(diào)整國家對應(yīng)顏色，都可以可以得到交替循環(huán)證明。

其他國家也可以延伸到H1之上得到圖{2}d：

W1與W2之間形成C， D交替循環(huán)。W1與H1之間形成B， D交替循環(huán)。W1與H11之間形成C， B交替循環(huán)。W1與H7之間形成D， B交替循環(huán)。W1與H6之間形成B， C交替循環(huán)。（類似排列組合可以形成無數(shù)種）適當(dāng)調(diào)整國家對應(yīng)顏色，就會得到，無限交替重復(fù)排列形式。所有國家不會重色。

還可以向上增加∞種延伸組合，證明重復(fù)。因?yàn)椋焊魧觾?nèi)部形成獨(dú)立閉合空間。所以：只需要再次重復(fù)證明，不需要增加顏色種類。（同時圖2d中，W2已經(jīng)分割形成交替循環(huán)與圖QW2相呼應(yīng)）

W2通過無限延伸最終形成一個閉合的環(huán)，形成圖（3）。

圖（3）中W2與所有（W2內(nèi)側(cè)，無限多）國家相鄰，形成閉合，封死了（內(nèi)側(cè)）所有國家外邊界。圖W1與所有（圖W2內(nèi)側(cè)，無限多）國家相鄰，封死了所有國家內(nèi)邊界。所有邊界都已經(jīng)封死，不會出現(xiàn)第三個國家與所有國家相鄰。圖（1）圖（2）a，b，c，d，可以歸納為圖（3）內(nèi)分部分，或變種。圖（3）外邊界是一個閉合圖形，可以看作是內(nèi)邊界的開始。也可以縮小為地圖上（球背面）一個點(diǎn)。

所以這個基本圖形是平面地圖上，所有可能產(chǎn)生的，地圖排列組合的最基本組合單位。圖（3）為終極圖案。對圖（3）做出證明等于對所有圖形做出了證明。

圖（3）證明：W1=A，W2=B，形成A， B，無限交替循環(huán)。H1=C，H2=D，H3=C，H4=D，^ ∞，形成成C， D，無限交替循環(huán)。兩種循環(huán)交替重復(fù)，可以擴(kuò)大到無限大的平面，也可以縮小到無限小。因此四種顏色完全夠用，不會發(fā)生重色。同時要形成不重色的兩種循環(huán)，至少需要四種顏色。圖Q是圖（3）的繁衍圖形，證明過程通用。

關(guān)于圖K證明四色問題：

在圖K中，A是第一種顏色，相鄰A 形成C， D交替循環(huán)。（C， D交替循環(huán)是偶數(shù)循環(huán)，在奇數(shù)時會出現(xiàn)重復(fù)，所以必須插入異數(shù)B）。再外層，形成A， B交替循環(huán)，插入異數(shù)D。再外層，形成C， D交替循環(huán)，插入異數(shù)B 。以此類推A， B交替循環(huán)與C， D交替循環(huán)，交替產(chǎn)生也可以放大到無限。（適當(dāng)調(diào)整插入不同顏色的位置就能避免重合的發(fā)生）。同樣滿足四色不重復(fù)的條件。看起來好像也能證明四色問題。（現(xiàn)實(shí)中所應(yīng)用的大部分圖形符合此種排列形式）

圖K 有一個致命的缺陷，就是隔層不相鄰，（隔層相鄰就會出現(xiàn)重復(fù)，需要重新排列著色順序才能避免重復(fù)）。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明需要涵蓋任何圖形，包括涵蓋隔層相鄰的情況，因此圖K 需要和圖Q結(jié)合在一起，共同來證明四色問題。（也可以視圖K為圖Q的一個變種）

因?yàn)椋浩矫娴貓D上任何圖形的排列順序，都會歸納出圖Q或圖K的排列順序結(jié)果。所以：圖K和圖Q在一起，共同證明四色問題成立。

總結(jié)：將平面地圖上所有可能出現(xiàn)的排列組合形式，集中體現(xiàn)在一個國家周圍。分析研究，就可以得到有秩序的邏輯證明了。并且任何一個國家周圍，最終都會排列出有秩序的交替循環(huán)排列形式。

應(yīng)用（1）：

四色問題的證明思路，可以應(yīng)用到《人類意識學(xué)》中。人類對自身意識的認(rèn)識，和對自身思考方式的認(rèn)識一直處于模糊狀態(tài)。圖Q 就是一幅人類自身思考方式的模型圖，能夠清晰地解釋人類的思考，意識，行為，等。對深入研究人類的思維意識，有一定的幫助。甚至有可能因此開發(fā)出人工智能算法程序。（圖Q中橫向循環(huán)代表邏輯思維——數(shù)學(xué)就是最好的邏輯語言。縱向循環(huán)代表情感思維——情感思維是人類的主導(dǎo)思維，人類對此還處于模糊狀態(tài)，其運(yùn)算法則，我將在《人類意識學(xué)》中做出詳細(xì)說明。人類一切行為，情感，所作出的一切選擇，人類社會所發(fā)生的一切都是這兩種思維共同作用所產(chǎn)生的結(jié)果。）因?yàn)槲冶救藢τ谥R和資金的匱乏，希望有人能夠和我共同完成《人類意識學(xué)》的研究與整理工作。

應(yīng)用（2）：

這個證明，還可以延伸出一門《循環(huán)論》——數(shù)學(xué)的一個延伸，創(chuàng)造出一些新的數(shù)學(xué)循環(huán)符號。——我們所處的宇宙，包括我們的社會都處于某種循環(huán)當(dāng)中。一天可以看做是一個循環(huán)，一個月，一年，都可以看做是不同的循環(huán)，整個宇宙都處于各自獨(dú)立的循環(huán)當(dāng)中，包括經(jīng)濟(jì)有循環(huán)周期，翻看歷史，國家的興衰都有符合某種循環(huán)，甚至整個社會的發(fā)展（包括人類自身的思想）都處于某種差異性的循環(huán)發(fā)展當(dāng)中。因此循環(huán)問題是一個大問題，這些都可以用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方式表達(dá)出來。因?yàn)槲业臒o知，我并不知道現(xiàn)今社會，是否已經(jīng)存在這門數(shù)學(xué)分支。期望有人能夠與我取得聯(lián)系，和我一起完成循環(huán)論的研究。