借助TI圖形計算器對函數遞增快慢的探討

鄭志柏

根據高中數學教學大綱對函數一節的教學要求，在高中數學二期課改教材高一年級第一學期第四章增加了“借助計算器觀察函數遞增的快慢”這一節內容，這一節教學內容屬于拓展型課。估計有的學校對這部分的內容就刪去不講了。但這一節教學內容具有豐富的現實背景和應用價值，在教學中應給予充分的關注和利用，對學生學習函數是很有益處的。這里結合借助TI圖形計算器觀察函數遞增的快慢這一節教學內容要求，以研究新技術設備引入課堂后教學效果的差異。

一、創智課堂的教學研究

隨著教育改革的不斷深入和創新，教育教學手段也隨著不斷跟進，特別是在“創智課堂建設”實踐與思考過程中，現代化教育教學內容和手段層出不窮。 在函數教學課堂上，應用日漸廣泛。在數學二期課改教材高一年級第一學期第四章中增加了“借助計算器觀察函數遞增的快慢”這一節內容。筆者這次選擇幾道數學題目的解決都是利用了TI圖形計算器的函數圖像和列表的功能，并進行動態演示、跟蹤軌跡，對于給定的區間上的函數只要輸入它的解析式，就能很快得到函數的圖像，并能求出兩個函數的交點，使學生能迅速觀察到函數遞增的快慢。而且學生還經歷了用它們建立函數模型、解決實際問題的過程，初步學會了用函數觀點去觀察、解釋和分析一些自然現象和社會現象，感受到應用數學的樂趣和激情，提高對函數探索學習部分的興趣和參與度。函數教學傳統使用列表描點得到函數圖像，這樣既耗費課堂時間，又容易因學生繪圖不精確而導致錯誤結論，往往致使課堂氣氛沉悶，效率十分低下。筆者結合新增加的“借助計算器觀察函數遞增的快慢”這一節拓展型課內容，決定進行大膽嘗試和創新創智課堂，以完成高中數學二期課改教材關于對借助TI圖形計算器觀察函數遞增的快慢的觀察研究。受到教育專家和老師的高度關注。

二、觀察研究情況

在這一節課堂教學中，選擇了三道不同類型的試題進行教與學的跟蹤演示，已達到觀察研究函數遞增快慢的目的。

問題一：甲乙兩兔賽跑，且它們同時從同一起點出發。甲兔以0.25米/秒的速度前進。若時間用 秒來表示，乙兔跑的路程（米）關于時間的函數為 。何時甲乙兩兔在途中相遇？甲乙兩兔誰跑得快？

解：（1）甲兔跑的路程（米）關于時間 的函數為：

乙兔跑的路程（米）關于時間 的函數為：

則得交點為： 或 （舍） .

所以，在 （秒）時甲乙兩兔在途中相遇。

（2）甲兔平均速度 米/秒，

乙兔每一秒的平均速度 米/秒

所以，在前4秒乙兔快于甲兔，在4秒以后，甲兔快于乙兔。

[說明]從圖及表格中我們看出了什么？

（1）甲兔雖然開始時速度較慢，但持之以恒，勻速前進，而乙圖后勁不足，終于慢于甲兔。

（2）甲兔、乙兔同時同地出發后，乙兔的速度快于甲兔，跑到甲兔的前面，且超前距離越來越大。

（3）經過一段時間后，乙兔的速度漸漸地減慢，乙兔的超前距離在漸漸減小。

（4）乙兔的速度慢于甲兔，最終被甲兔追上了。

（5）乙兔的速度還在減慢，它落后于甲兔的距離越來越大。

說明：平均變化率是刻畫函數變化快慢的，本例中是時間長為1秒的平均速度。

問題二：張先生向銀行貸款10萬元。已知該項貸款有兩種計息辦法：

（1）按貸款額的5.2‰的月利率計單利；

（2）按貸款額的5‰的月利率計復利；

規定貸款的最長期限為3年，還款時本息一次付清。張先生選擇哪種計息辦法更有利些？

解：設張先生貸款期限為 個月，則

按第1種計息辦法還款時的本利和：

按第2種計息辦法還款時的本利和：

當 時， ；當 時， ；

所以，若張先生貸款期限不超過16個月時，選擇第2種計息辦法更有利些；超過16個月時，選擇第1種計息辦法更有利些。

說明：雖然線性函數 和指數型函數 在 上都是單調遞增函數，但當 適當大時，指數型函數比線性函數遞增快得多。

問題三：已知函數 的圖像與函數 的圖像在 處相交，試用數值比較兩個函數在 時遞增的快慢，并說明在函數圖像上的表現。

解：記 ，

由此可見 的遞增快于 的遞增。

從函數圖像中可見，說明 時， 的圖像比 圖像走勢陡峭。

說明：指數函數與冪函數遞增快慢的比較：當 適當大以后，指數函數 的遞增總是快于冪函數 的遞增。

三、觀察結果分析

1、從教學效果看，借用TI圖形計算器教學對學生掌握函數的圖像和性質有一定的積極作用，提升了學生學習興趣（更容易關注圖形變化、吸引注意力），使學生得到了直觀形象的認識和刺激，感受能力得到提升，進而比較容易認清不同圖像間的區別，使得課外拓展更有抓手，在既有的教學基礎上，讓學生自主解決實際問題，突出、突破了函數的圖像、性質的理解和綜合應用的重點和難點問題。

2、從教學模式看，借用TI圖形計算器進入函數課堂教學一定程度上提高了學生課堂參與度，從而實現了單一的教（灌輸）到雙（多）向互動，激發了學生的求知欲，提高了學生創新求知能力和參與實踐的機會，培養了學生動手能力。

3、從函數教學看，借用TI圖形計算器教學在提高學生理解函數圖像、性質的能力方面有一定輔助效果，突出了函數的圖像和彼此區別，改變了傳統教學模式，對學生的學習體驗、學習興趣、提高學習能力和效果都有積極影響，還提高了單位時間的教學容量，使教學更有效率。