淺析可導函數一致連續性的判定方法

劉旭堂

摘要：可導函數的一致連續性是高等數學當中的重要內容，本文主要研究了如何通過一致連續性的定理來對可導函數進行一致連續性判斷的方法，使可導函數的一致連續性判斷更加簡潔、明了。

關鍵詞：可導函數；一致連續性；判定；方法

在高等數學中，有很多種方法可以證明函數的一致連續性，但是大多數都是使用定義來進行判定，比如：假設f（x）為定義在區間I上的函數，如果對于任意的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，對于任意的x′，x〞∈I，那么只要|x′-x〞|<ε，我們就可以說f（x）在區間I上是一致連續的。還可以根據一致連續性定理來進行判定，比如：假設函數f（x）在閉區間[a，b]上是連續的，那么f（x）在閉區間[a，b]上就是一致連續的。由此可見，利用定義來證明函數的一致連續性比較復雜，使用一致連續性定理來證明函數的一致連續性則比較簡單，但是定理證明的范圍僅限于閉區間，如果函數是在其他類型，如開區間或者半開半閉區間則不適用，如何找到一個方便實用的函數連續一致性判定方法稱為數學界一直以來重點研究的問題。

引理：如果f（x）在區間I1上具有一致連續性，在區間I2上也具有一致連續性，并且I1∩I2≠Φ，那么f（x）在I1∪I2上具有一致連續性。

1.利用導數判別可導函數的一致連續性

定理1：假設函數f（x）在區間I上可導，并且它的導函數f′（x）在區間I上有界，那么f（x）在區間I上具有一致連續性。

推論1：假設f（x）在[a，﹢∞]上是連續的，并且在（a，﹢∞）上可導，如果f′（x）在﹢∞的某鄰域內有界，那么f（x）在[a，﹢∞]上是一致連續的。

證明：由上述條件可知，?X>a和L>0，當x∈[X，﹢∞）時，| f′（x）|≤L，通過定理1可以推算出f（x）在[X，﹢∞）上具有一致連續性。由于f（x）在[a，﹢∞）上是連續的，所以f（x）在[a，X]上具有一致連續性。通過引理1可得，f（x）在[a，﹢∞）上具有一致連續性。

推論2：如果f（x）在（a，b）上可導，并且f′（x）在點a的某右鄰域內有界，在點b的某左鄰域內有界，那么f（x）在（a，b）上具有一致連續性。

推論3：如果f（x）在（a，b）上可導，并且 |f′（x）|和 |f′（x）|能夠同時存在，那么f（x）在（a，b）上具有一致連續性。反之則不能夠成立。

定理2：假設f（x）在[a，﹢∞）上是連續的，并且在（a，﹢∞）上可導， |f′（x）|=A，那么f（x）在[a，﹢∞）上具有一致連續性的充要條件為A<﹢∞。

例1：f（x）=logax，x∈[c，﹢∞），其中a>0，并且a≠1，c>0。f′（x）= · |f′（x）|=0，通過上述定理2可得，f（x）=logax在[c，﹢∞）上具有一致連續性。

2.采取比較判別法判定函數的連續一致性

定理3：假設函數f（x）和g（x）在區間I上可導，如果存在L>0，能夠使?x∈I，有|g′（x）|

證明：假設f（x）在區間I上具有一致連續性，那么?ε>0，?δ>0，當x1，x2∈I，并且|x1-x2|<δ時，|f（x1）-f（x2）|< 。通過柯西中值定理能夠得出，在x1與x2之間存在一點ξ，能夠使| |=| |

假設函數f（x）在區間I上具有一致連續性，從上述結論中可知，g（x）在區間I上也具有一致連續性，所以當g（x）在區間I上不具有一致連續性時，f（x）在區間I上也不具有一致連續性。

推論1：假設函數f（x）和函數g（x）在（a，b]上是連續的，并且在（a，b）內可導， | |=l，那么（1）當0

證明：（1）當0

如果f（x）在（a，b]上具有一致連續性，那么f（x）在（a，c]上也具有一致連續性，根據定理3可得，左端不等式g（x）在（a，c]上也具有一致連續性，由于g（x）在[c，b]上具有連續性，那么g（x）在[c，b]上具有一致連續性。

如果g（x）在（a，b]上具有一致連續性，由右端不等式可以得出，f（x）在（a，b]上也具有一致連續性。

（2）當l=0時，由函數的局部保號性可得，存在c∈（a，b），能夠使x∈（a，c]時，| |<1，也就是| f′（x）|<| g′（x）|。由（1）的推導過程可知，如果g（x）在（a，b]上具有一致連續性，那么f（x）在（a，b]上也具有一致連續性。

（3）當l=﹢∞時， | |=0，由（2）的結論可知，如果f（x）在（a，b]上具有一致連續性，那么g（x）在（a，b]上也具有一致連續性。所以當g（x）在（a，b]上不具有一致連續性時，f（x）在（a，b]上也不具有一致連續性。

參考文獻：

[1]甘宗懷， 李秋林. 關于可導函數一致連續性的判定定理[J]. 高師理科學刊， 2016， 29（5）：38-39.

[2]張彩霞， 李文赫. 可導函數的一致連續性判別[J]. 哈爾濱商業大學學報（自然科學版）， 2013， 29（4）：496-498.