管中窺豹

汪世利

摘 要 通過對2018年4月浙江省學業水平考試18題多種解法的探究，揭示其幾何本質：圓錐模型，并借助圓錐模型解決動態幾何問題。并由此總結：在平時課堂教學中應注重培養學生“直觀想象”能力和數學建模的能力，發展學生的數學核心素養。

關鍵詞 動態立體幾何;圓錐模型;直觀想象

中圖分類號：G623 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）06-0047-02

立體幾何是高中數學的重要內容之一，對培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力、綜合應用能力方面有著重要性。而立體幾何中的“動態”問題滲透著運動變化的觀點，是立體幾何的一大難點。所謂“動態”性立體幾何題，是指在點、線、面運動變化的幾何圖形中，探尋點、線、面的位置關系或進行有關角與距離的計算。是學考、高考的難點，也是學考、高考的亮點。

一、似曾相識燕歸來，小園香徑滿芬芳

例1：如圖1，設矩形ABCD所在平面與梯形ACEF所在平面相交于AC。若AB=1，BC=，AF=FE=EC=1，則下列二面角的平面角大小為定值的是（ ）（2018年4月浙江省學考試卷第18題）

A.F-AB-C B.B-EF-D C.A-BF-C D.B-AF-D

作為一道選擇題，按照小題小做的思想，排除法是一種非常有效的解題方法，只有一個二面角的平面角為定值，其他二面角都在變化的，可以取兩種特殊的情況計算，排除其他三個答案。但對于課堂教學來講，我們不應只滿足于找出問題的答案，而應從多角度分析，尋求問題的幾何本質。上述問題轉化為證明二面角B-EF-D的平面角為定值。

思路1：（坐標向量法）如圖2：建立空間坐標系，設二面角F-AC-B的大小為θ，則 ， ， ， 。可求得平面BEF的一個法向量為 ，平面DEF的一個法向量為 ， ， ，即二面角B-EF-D為直二面角。

思路2：（幾何法）如圖3：過F作FG⊥AC于G，過E作EH⊥AC于H，過B作BB平行且等于AC，連接BG、DG、DH、ED、BB。易證得AC⊥平面BFG、平面DEH，EF∥AC，得EF⊥平面BFG、平面DEH，可得EF⊥BF，ED⊥EF，∠DEB為二面角B-EF-D的平面角，設∠EHB=α EB2=EH2+HB2-2EH·HBcosα=3/2（1-cosα），

上述三個思路是立體幾何問題的常規解法，但不論是利用坐標法、幾何法還是向量法，盡管能求出結果，但解題過程都比較復雜。也總感覺還有什么東西沒有揭示出來，總覺得意猶未盡。

例2：如圖5，在 中， ， .若平面 外一點 和線段 上的點 ，滿足 ， ，則四面體 的體積的最大值是。（2016年浙江省高考理科第14題）

從“運動”的視角仔細分析條件，發現點P、D在動，但運動過程中，“ ”，“ ”這兩個等量關系始終保持不變，且三條線段有公共點B，那么可以看成三以B為頂點的圓錐的三條母線，因此可以構造如圖6所示的圓錐模型，點P在圓錐的地面圓周上運動。要使四面體 的體積最大，即三棱錐 的體積最大，當底面 面積和點 到平面 的距離最大時，體積最大。當平面 平面 時，點 到平面 的距離最大值為1，此時 為圓錐底面圓的直徑，則 ，在 中，設 ，因為 ，則 ， ， ， 為等腰三角形， ，即 為 的中點，當 時， 面積的最大值為 ， = 。

二、千磨萬擊還堅勁，任爾東南西北風

1.培養學生的“直觀想象能力”，發展學生的核心素養。核心素養是學生最必要的基本素養，是數學知識、方法的本質體現，在平時立體幾何的課堂教學中，應從注重學生學習過程，還課堂給學生，要留足時間給學生深入觀察、分析、解決與探究幾何圖形，對幾何圖形會想、會畫、會準確描述，培養學生的直觀想象能力。

2.借助數學模型，培養學生的綜合應用能力。一般來說，“動態”立體幾何問題中的翻折問題都可以借助“圓錐模型”將動態變化過程轉化到圓周變化，化動為靜，以靜制動，找到解決方案。因此，在平時立體幾何的課堂教學中，可以有意識的培養學生借助模型：如長方體、正方體、圓錐等解決問題能力。

參考文獻：

[1]馬茂年，吳曉明.動態幾何策略引領理性探索——例說立體集合“動態”題型解題策略[J].中學教研（數學），2014（2）.