K型圖的建立和應(yīng)用

江蘇省蘇州市相城區(qū)東橋中學(xué) 凌 健

K型圖的建立和應(yīng)用

江蘇省蘇州市相城區(qū)東橋中學(xué) 凌 健

一、基本K型圖

K型圖又稱為一線三等角圖形，因圖形形似字母K而得名，它有如下3種基本形式：

我們不難發(fā)現(xiàn)它們的共性：一直線上有3個(gè)點(diǎn)B、C、D，且∠B=∠ACE=∠D，可以推出∠A=∠ECD，進(jìn)而得到△ABC∽△CDE.若AC=CE，則△ABC≌△CDE.我們把滿足以上條件的圖形稱為K型圖.

案例1：如圖1，點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)，∠B=∠AEF=∠C=90ο，求證：△ABE∽△ECF.

圖1

分析：本題是一個(gè)顯性模型，直接應(yīng)用K型圖進(jìn)行解題.

證：∵∠B=90ο，∴∠BEA+∠A=90ο，

∵∠AEF=90ο，∴∠BEA+∠FEC=90ο，

∴∠A=∠FEC.

又∵∠B=∠C=90ο，

∴△ABE∽△ECF.

圖2

變式：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90ο，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE=45ο（A、D、E按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)）.若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E.求證：△ABD≌△DCE.

分析：本題與案例1類似，首先根據(jù)∠BAC=90ο得出∠B=∠C=45ο，從而得出∠B=∠C=∠ADE=45ο，再通過類比思想應(yīng)用K型圖進(jìn)行解題即可.

總結(jié)：從案例1及其變式可以看出，雖然基本K型圖有3種，但究其本質(zhì)，可以歸納為：滿足一直線上有3個(gè)角相等的圖就是K型圖.這3個(gè)角無(wú)論是銳角、鈍角還是直角，結(jié)論都成立.為了方便，下面筆者僅用3個(gè)90ο的等角模型加以說明.

二、K型圖的基本變形及推廣

K型圖因形似字母K而得名，但在解題的過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，它也不都是以K型出現(xiàn)的.在有些題目的條件當(dāng)中往往出現(xiàn)3個(gè)相等的角，但它們未必在同一直線上，是不是也可以用K型圖來(lái)解呢？下面我們就來(lái)研究一下K型圖的基本變形和推廣.

基本變形1：已知∠ADB=∠ADC=∠BAC=90ο，根據(jù)同角的余角相等可得∠B=∠DAC，進(jìn)而得出△ABD∽△CAD.事實(shí)上這是一個(gè)雙垂直圖形，我們可以得出△ABD∽△CAD∽△CBA，進(jìn)一步可以推出射影定理.

基本變形2：已知∠ADB=∠AEC=∠BAC=90ο，根據(jù)同角的余角相等可得∠B=∠EAC，進(jìn)而也能得出△ABD∽△CAE.事實(shí)上，基本變形1是基本變形2的一種特殊形式，即當(dāng)CE和BD在同一直線上的情況.

基本變形3：已知∠DAE=∠BAC=90ο，根據(jù)同角的余角相等可得∠BAD=∠CAE，又因?yàn)椤螪=∠E，得出△ABD∽△ACE.

總結(jié)：從以上3個(gè)基本變形我們可以發(fā)現(xiàn)，K型圖具有很多種不同形式，它的基本變形也不僅僅是以上3種，只要滿足3個(gè)或3個(gè)以上等角的圖形，我們都可以考慮是否可以用K型圖加以解決.

案例2：如圖3，在Rt△ABC中（∠C＝90ο）放置邊長(zhǎng)分別3、4、x的3個(gè)正方形，則x的值為（）.

A.5B.6C.7D.12

圖3

分析：本題是K型圖的變形和推廣，利用兩次基本變形可得△DEF∽△GHI，建立邊的關(guān)系.

解：∵∠DEF=90ο，∴∠FDE+∠DFE=90ο，

∵∠EFG=90ο，∴∠DFE+∠CFG=90ο，

∴∠FDE=∠CFG.

同理可得∠HGI=∠CFG.

∴∠FDE=∠HGI.

又∵∠DEF=∠GHI=90ο，

∴△DEF∽△GHI，

【評(píng)析】?jī)H憑直覺解本題比較困難，學(xué)生在解題的過程中錯(cuò)誤率比較高.若能發(fā)現(xiàn)此題為K型圖的基本變形便能很快突破難點(diǎn)，解決問題.

案例3：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，2），C是AB的中點(diǎn)，過C作y軸的垂線，垂足為D.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC向勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP、C.當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

分析：當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時(shí)，添加輔助線，延長(zhǎng)BP交線段CE于點(diǎn)F，如圖5.此時(shí)∠CPE=∠PFC=∠BDP=90ο，雖然它們不在同一直線上，但符合K型圖的推廣的條件，進(jìn)一步分析驗(yàn)證模型推理的正確性，進(jìn)而可以得出△BDP與△EPC相似.

圖4

圖5

由于題目要求BP所在直線與EC所在直線第一次垂直，故可得出DP比BD短時(shí)，兩者第一次垂直。所以本題只需要討論△BDP∽△CPE這一種情況.

∴a2-4a+3=0.

【評(píng)析】本題是2016年蘇州市中考數(shù)學(xué)卷的填空壓軸題，學(xué)生得分情況不理想.究其原因，還是學(xué)生缺乏將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為基本圖形的能力，對(duì)K型圖的基本變形缺乏本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

三、K型圖的建立方法和應(yīng)用

在有些題目中，K型圖或其基本變形并沒有直接給出，而是需要學(xué)生根據(jù)題目的條件特征和圖形特征自主構(gòu)造，建立模型，這是一個(gè)難點(diǎn).

如果條件中含有垂直這個(gè)幾何條件，可以考慮構(gòu)造K型圖.K型圖的構(gòu)建總體上分為兩類.

圖6

圖7

圖8

如圖6，若∠B=90ο我們可以過直角兩邊上的任意一點(diǎn)向經(jīng)過直角頂點(diǎn)的直線作垂線，構(gòu)建K型圖.

如圖7，直線l在直角∠ABC的外部，因此所得K型圖稱為外K型.

如圖8，由于直線l在直角∠ABC的內(nèi)部，因此所得K型圖稱為內(nèi)K型.

圖7和圖8均可以證出△ABD∽△BCE，從而把垂直轉(zhuǎn)化為線段間的數(shù)量關(guān)系.一般在構(gòu)造K型圖過程中，我們都可以將圖形構(gòu)造為外K型和內(nèi)K型兩種.基本圖形的構(gòu)建是關(guān)鍵，也是提高學(xué)生探究能力和創(chuàng)新精神的必由之路.

案例4：如圖9，直線l1、l2、l3互相平行，且l1、l2的距離為1，l2、l3的距離為2，等腰△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)分別在3條平行線上，AB=AC，∠BAC=90ο，求等腰△ABC的腰長(zhǎng).

分析：本題已知∠BAC=90ο，考慮是否可以建立K型圖解題.又知道是經(jīng)過直角頂點(diǎn)A的直線，故有了建立外K型圖的思路.

圖9

圖10

解：過點(diǎn)B、C分別作直線l1的垂線，垂足為D、E，如圖10，不難證出△ABD≌△CAE，

∴AD=CE=3.

又∵DB=1，

變式：如圖11，直線l1、l2、l3互相平行，且l1、l2的距離為1，l2、l3的距離為2，等腰△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)分別在3條平行線上，AB=AC，∠BAC=120ο，求等腰△ABC的腰長(zhǎng).

圖11

圖12

分析：本題受案例4的啟發(fā)，過點(diǎn)B、C分別作直線l1的垂線，垂足為D、E.但這時(shí)并沒有構(gòu)成K型圖，解題陷入僵局.

當(dāng)然，想要解決本題，還是要向構(gòu)建K型圖的方向努力，所以有了如下思路.

解：在l1上取點(diǎn)F，連接BF，使得∠AFB=120ο，

在l1上取點(diǎn)G，連CG，使得∠CGA=120ο，如圖12.

因?yàn)椤螦FB=∠BAC=∠CAG=120ο，

不難證出△ABF≌△CAG.

【評(píng)析】本變式題的模型結(jié)構(gòu)不明顯，學(xué)生首先會(huì)想到作垂線，但作完垂線以后解題又無(wú)法進(jìn)行下去了.根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，讓學(xué)生稍微跳一跳，筆者認(rèn)為他們還是能夠構(gòu)造出3個(gè)120ο角的K型圖的.

編輯/王一鳴E-mail：51213148@qq.com