基于龍格—庫塔的非線性電容電路數值解法

摘 要：對于含有非線性電容元件的動態電路運用基爾霍夫定律列出是一組非線微分方程。該微分方程的解析一般不容易獲得。但可以借助計算機運用迭代的思想將求解析解問題轉化成求數值解的問題。本文以非線性電容的動態電路為研究對象，重點研究了將二階龍格-庫塔法應用于非線動態電路的求解過程。通過研究發現應用二階顯式龍格-庫塔法來求非線性電容動態電路的數值解是完全可行的。

關鍵詞：非線性動態電路； 二階龍格-庫塔；數值解法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.12.161

0 引言

對于非線性動態電路，運用基爾霍夫定律會得到一個非線性微分方程，其解析解y（x）一般不易獲得。當解析解y（x）不易求出時，就應該將連續問題離散化處理。

針對歐拉法的這種不足，本文應用二階龍格-庫塔方法求解非線性電容動態電路。二階顯式龍格-庫塔法較之歐拉法有較強的精確性及收斂性。

1 二階顯式龍格-庫塔法

對于形如的微分方程，如果不易求其解析解，可以將微分方程的連續問題離散化，即在求解區間上取一系列離散點，其中，h為步長。離散化有三種方法：（1）差商逼近法即用差商值逼近導數值；（2）數值積分法即將微分方程轉化為積分方程進行數值積分離散化；（3）泰勒展開法進本思想是首先構造一個關于真解及其有關信息的含參算子，將算子中諸項在某點處按泰勒展開式展開。從而獲得一個關于數值解的差分方程。龍格-庫塔法是基于第三種方法。常用的二階龍格-庫塔格式。

2 應用龍格-庫塔法求解非線性電容電路的步驟

應用龍格-庫塔法可以將求其解析解問題轉化為求微分方程數值解問題。求解的思路分為兩步。第一步：根據非線性電容電路的特點，運用基爾霍夫定律列寫非線性微分方程。第二步：應用龍格-庫塔法求解該非線性微分方程的數值解。

3 示例

下面運用一個實例具體闡述運用龍格-庫塔法求非線性電容電路的數值解的過程。電路如下圖1所示：已知電流源IS=1A，電阻R0=1Ω，其中非線性電容的庫伏特性為，u為電容兩端電壓，當t=0時刻有，流過R0的電流為i0，流過非線性電容的電流為ic。以q為電路變量寫出微分方程。

4 結論

本文重點研究了將龍格-庫塔法應用于求解非線性電容電路，示例證明應用該方法求非線性電路微分方程的數值解不但是完全可行的，而且還具有較高的代數精度。

參考文獻：

[1]李慶揚，王能超等.數值分析[M].北京：清華大學出版社，2008（12）.

作者簡介：付裕（1987-），陜西西安人，助教，研究方向：數據挖掘、電氣自動化。