開放型題的歸類解答

文/劉 頓

責(zé)任編輯：王二喜

開放型題能培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維能力，是近幾年中考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)新熱點(diǎn).開放型題可分為條件開放題、結(jié)論開放題、條件與結(jié)論開放題.請(qǐng)看下面的例子.

一、數(shù)與式中的開放題

例1三個(gè)代數(shù)式：①a2-2ab+b2；②3a-3b；③a2-b2.從中任意選擇兩個(gè)代數(shù)式構(gòu)成分式，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求當(dāng)a=6，b=3時(shí)該分式的值.

分析：答案不唯一.

二、方程與不等式的開放題

例2一元二次方程x2-5x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且兩根之積為正，若c是整數(shù)，則c=.（只需填一個(gè)）

分析：∵一元二次方程x2-5x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且兩根之積為正，

∴Δ＞0，c＞0，即Δ＝（-5）2-4×1×c=25-4c＞0，

又∵c是整數(shù)，

∴c的值為1，2，3，4，5，6.

答案不唯一.如填1.

三、函數(shù)開放題

分析：答案不唯一.只要k＜0就符合題意.

四、三角形與四邊形的開放題

例4正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，連接DF，BF，如圖1.

（1）若α=0°，則DF=BF，請(qǐng)加以證明；

（2）試畫一個(gè)圖形（即反例），說(shuō)明（1）中命題的逆命題是假命題；

（3）對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果補(bǔ)充一個(gè)條件后，能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說(shuō)明理由.

圖1

圖2

圖3

分析：（1）如圖2，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，

∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，

∴DG=BE，

∴△DGF≌△BEF，∴DF=BF.

（2）圖形（反例），如圖3.

（3）答案不唯一.

如，F(xiàn)在正方形ABCD內(nèi)，或α＜180°，若點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，DF=BF，則旋轉(zhuǎn)角α=0°.

五、圓與相似形的開放題

例5如圖4，OB是已O的半徑，弦AB=OB，直徑CD⊥AB，若點(diǎn)P是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，則∠PAB的度數(shù)可以是（寫出一個(gè)即可）.

分析：不妨設(shè)AB與CD交于點(diǎn)E，

∴∠BOE=30°，∠OBE=60°.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，∠PAB=∠OAB=∠OBA=60°；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，連接OA，則∠OAB=60°，∠AOC=30°，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=15°，∠PAB=75°，

當(dāng)點(diǎn)P在線段OD上移動(dòng)時(shí)，60°＜∠PAB＜75°.

故答案不唯一.

如，∠PAB的度數(shù)可以是70°.

圖4

六、統(tǒng)計(jì)與概率的開放題

例 6 已知A組數(shù)據(jù)如下：0，1，-2，-1，0，-1，3.

（1）求A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

（2）從A組數(shù)據(jù)中選取5個(gè)數(shù)據(jù)，記這5個(gè)數(shù)據(jù)為B組數(shù)據(jù).要求B組數(shù)據(jù)滿足兩個(gè)條件：①它的平均數(shù)與A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等；②它的方差比A組數(shù)據(jù)的方差大.

（2）答案不唯一.

A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為0，B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為0，去掉的2個(gè)數(shù)的和為0即可.

如，選取的B組數(shù)據(jù)是：1，-2，-1，-1，3.

所以數(shù)據(jù)1，-2，-1，-1，3符合題意.