三正則二部網絡的結構

林馨

摘要：對任意的簡單圖G，若其存在兩條邊，滿足，E（G），令，該變換稱為圖G上的開關變換。若圖G經過有限次開關變換后，得到圖G，則稱G和G在開關變換下是連通的。本文將三正則二部網絡抽象為三正則二部平面圖，討論此類圖的結構，并用算法驗證此圖類在開關變換下是連通的。

關鍵詞：三正則；二部；開關變換

中圖分類號：O157.5 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2018）04-0227-01

1 引言

在圖論中，圖是由若干給定的頂點以及頂點之間的邊所構成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關系，用頂點代表事物，用連接兩點的邊表示相應兩個事物間具有的關系。

在組合網絡理論中，我們可將網絡拓撲結構可抽象為圖。其中，網絡中的節點對應著圖中的頂點，而網絡中的連線則對應著圖中的邊。

圖中，集合V的元素稱為圖G的頂點，而集合E的元素稱為圖G的邊。

若圖的各邊都沒有方向，稱為無向圖。

若圖若無重邊（即任意兩個頂點間至多只有一條邊），則稱為簡單圖。

若圖的每個頂點的度數（即其鄰接的邊數）皆為n，那么我們稱其為n-正則圖。

設G是無向圖，如果頂點集V可分割成兩個互不相交的子集，并且圖中的每條邊所關聯的兩個頂點分別屬于這兩個不同的頂點集，則稱G是一個二部圖。

本文將借助三正則二部圖，研究三正則二部網絡的結構。而文中所涉及的而以上未提及的圖論中常用符號和概念參見[1]。

2 主要結論

對任意的簡單圖G，若其存在兩條邊，滿足，E（G），令，那么該變換稱為圖G上的一次開關變換。

若圖G經過有限次開關變換后，得到圖G，我們就稱G和G在開關變換下是連通的。顯然，開關變換具有可逆性，圖G通過有限次開關變換后，也能得到圖G。因此，在開關變換的意義下，兩個圖連通具有對稱性。

對任意2n階三正則二部網絡G，G的頂點按次序編號并分為兩部分以及。我們將圖G的頂點集記為V（G），邊集記為。

定義1.記Jn為2n階三正則二部圖集合。

定義2. 我們定義2n階三正則二部圖的標準圖滿足：

定理2.若，則對G施加有限次的開關變換后可得到標準圖，且每次變換得到的圖仍屬于圖類Jn。

證. 由算法1可知，若，我們將G的頂點編號為兩部分以及，之后逐個考察其是否含有標準圖中的各邊，若沒有，則進行適當的開關變換，得到該邊，直到得到標準圖中的所有邊。則對G進行有限次開關變換之后可得到。又由于每次開關變換所產生的新邊仍然連接兩部的頂點，因此每次變換所得到的圖仍屬于圖類Jn。

3 結語

本文將三正則二部網絡抽象為三正則二部圖，驗證了任意一個三正則二部圖經過有限次開關變換都可以轉化為我們所定義的同階標準圖。又根據開關變換具有可逆性，我們知道整個三正則二部圖類在此開關變換下是連通的。此結論探索了三正則二部網絡的結構特征，并為進一步研究其他各類網絡結構打下了基礎。

參考文獻

[1]J.A Bondy and U.S.R Murty，“graph theory with applications”， 1st Edition，The MacMillan Press，1976.