談數學中分類討論解題的幾種情況

張友聰

【摘要】用分類討論法解答的數學題目，往往具有較強的邏輯性、綜合性和探索性，既能全面考查學生的數學能力又能考查學生的思維能力，分類討論問題充滿了數學辨證思想，它是邏輯劃分思想在解決數學問題時的具體運用。

【關鍵詞】初中數學 分類討論解題

初中數學中的分類討論問題往往是學生不容易掌握好的一類問題，在研究幾何問題時，由于圖形的變化（圖形位置不確定或形狀不確定）引起幾何問題結果有多種可能，就需要分類討論，在這里對常見的幾種情況進行歸納：

一、高

方法一：由于三角形的高可在三角形的內部、外部或與邊重合，所以在解決問題時常常將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

例1為了美化環境，計劃在小區內用120m2的草皮鋪設一塊一邊長為20的等腰三角形綠地，請求出這個三角形的另兩條邊長。

分析：由題中已知一邊長20m的等腰三角形，可分為底邊長為20m或腰長為20m兩種情況，如圖1由底邊長為 20m和面積為由腰長為20m和面積為120m2分析時難度較大，需考慮將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，直角三角形的情況不成立，可分別得到圖2和圖3兩種情況來研究。

方法二：比例尺畫圖法

例2小剛玩拼圖游戲，所拼成的圖形是一個三角形，量得兩邊長分別為20cm、25cm，第三邊上的高為15cm，請你幫助他計算這個圖形的面積。

在教學中我不僅要求學生掌握這種分類方法，同時還要求學生按條件用比例尺畫圖，并深入思考畫圖的步驟，使學生不僅從表面上明白畫兩種情況的圖形，還能分析出為什么要畫兩種情況，讓學生思考可否先畫一條直線上的高長為15cm，然后用刻度尺在高的同側及異側畫出長度為20cm和25cm的線段，這樣的圖形準確無誤更利于學生進一步的思考。

例3有一塊梯形菜地，上底、下底不能直接測量，但可測量梯形的高為12m，梯形的兩條對角線長分別為15m和20m，試求這塊地的面積。

此題相對上題難度更大一些，我引領學生不要急于解決問題，而是思考怎樣才能畫出符合條件的圖形，由于有了上題的提示學生能有一些嘗試，已經學會了這種分析問題的方法，我引導學生可否先畫出距離為12的兩條平行線，分別在高的同側和異側畫出兩條對角線，同學們紛紛動手畫圖，研究問題的氛圍非常濃厚，我想這才是我們要達到的目的。

二、截圖問題

題型相對簡單，考查知識點為相似三角形的性質及相似三角形對應高的比等于相似比等、常見題型有：

1.直角三角內截等邊三角形

例4在ABC中，∠C=90°，BC=15，AC = 20，以C為頂點，作一個等邊三角形，其他兩個頂點在ΔABC的邊上，求這個等邊三角形的邊長。

2.直角三角形內截正方形

例5在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，作一個正方形，使它的四個頂點都上三角形的邊上，求正方形的邊長。

3.直角三角形內截矩形

例6為了節省資金，小明的爺爺將一塊兩直角邊長分別為30cm和40cm的直角三角形廢鏡片割成一塊長與寬的比為3：2的小長方形鏡片，為小明做了一個精美的小鏡子，（要求長方形的各個頂點均在直角三角形的邊上），請你計算一下長方形鏡片的長與寬各為多少厘米？

4.正方形內截直角三角形

例7正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在正方形的邊上（點E、F不與頂點重合），△AEF是斜邊等于5的直角三角形，且∠EAF≠90°，求BE的長。

5.正方形內截等腰梯形

例8在邊長為了8的正方形內截一個上底為4，下底為6的等腰梯形，其各頂點在正方形的邊上，求截得的等腰梯形的面積。

6.矩形內截等腰三角形

例9矩形ABCD中，AB=8，BC=25，點O在BC邊上，BO=7，點M在線段OC上且OM=8，以OM為一邊作等腰△OMP，使點P在矩形的一邊上，求AP的長。

7.梯形內截等腰三角形

例10（2008.黑龍江）有一底角為60°的直角梯形，上底長為10cm，與底垂直的腰長為10cm，以上底或與底垂直的腰為一邊作三角形，使三角形的另一邊長為15cm，第三個頂點落在下底上，請計算所作的三角形的面積。

在解題時，我抓住畫圖是解題的關鍵這一特點，讓學生掌握內部截等邊三角形時分別以現有圖形的各邊為作等邊三角形，內部截正方形時分別以直角邊和斜邊為邊作正方形，內部截等腰梯形時要考慮它的軸對稱性分別在邊和對角線上研究。

三、外拼問題：

1.等邊三角形外拼等腰三角形

例11張大爺家的耕地為四邊形ABCD，∠BAD=105°，AB=20m，若張大爺沿對角線AC把地分給兩個兒子，其中耕地ABC恰好為等邊三角形，另一塊耕地△ ADC恰好為等腰三角形，求耕地ADC的面積。

2.等腰直角三角形外拼等腰直角三角形

例12（2010.黑龍江）RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為多少？

3.直角三角形外拼直角三角形構成等腰三角形

例13（2009.黑龍江）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m、8m，現在要將綠地擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴建后，等腰三角形綠地的周長。

4.直角三角形外拼直角三角形構成相似圖形

例14有一塊直角三角形綠地，它的兩條直角邊長分別為3m和4m，現要將其擴充成四邊形，擴充部分是以4m為一邊的直角三角形，且與原直角三角形相似，試求擴充后的四邊形的面積。

數學中的分類討論思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、填密性、科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。