基于整數(shù)混沌和DNA編碼的并行圖像加密算法

胡輝輝，劉建東，商 凱，陳 飛

(1.北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029； 2.北京石油化工學(xué)院 信息工程學(xué)院，北京 102617)

0 引 言

近年來(lái)的研究表明，DNA計(jì)算具有許多良好的特性，例如，大量的并行性、巨大的存儲(chǔ)量和超低的功耗，十分利于其在圖像加密中的應(yīng)用。Zhang Qiang等[1]提出了一種基于DNA編碼與2D Logistic映射的數(shù)字圖像加密算法，該算法將DNA編碼與混沌加密相結(jié)合，在一定程度上提高了加密算法的安全性，但也存在著DNA編碼的規(guī)則有限、低維混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，使得加密后的圖像存在像素相關(guān)性強(qiáng)等缺陷，安全性依然不高。

時(shí)空混沌系統(tǒng)是一種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，十分適合用于設(shè)計(jì)針對(duì)圖像等大數(shù)據(jù)量的多媒體信息的加密算法。目前已有許多基于時(shí)空混沌理論的圖像加密算法[2-4]，這些加密算多是采用像素位置置亂和像素值擴(kuò)散的思想，很好地體現(xiàn)了密碼設(shè)計(jì)的混淆和擴(kuò)散這兩個(gè)基本原則。由于現(xiàn)有的混沌模型難以產(chǎn)生同時(shí)具備獨(dú)立性和均與性的偽隨機(jī)序列，降低了加密方案的安全性，而且位置置亂較為耗時(shí)，不利于大批量圖像數(shù)據(jù)的加密和實(shí)時(shí)傳輸。

結(jié)合DNA編碼和高維混沌系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，成為設(shè)計(jì)更加安全、耗時(shí)更低的圖像加密算法更好的選擇[5,6]，然而這些圖像加密算法所使用的混沌系統(tǒng)都是三維及以下混沌系統(tǒng)，混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單且復(fù)雜度相對(duì)較低，降低了加密算法的安全性。本文基于DNA編碼和四維以上的高維時(shí)空混沌系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種并行彩色圖像加密算法。算法充分利用了DNA編碼、DNA加法和DNA求補(bǔ)等DNA密碼的思想，復(fù)雜化了圖像加密中的基本運(yùn)算。同時(shí)，構(gòu)造了高維的整數(shù)非線性耦合混沌系統(tǒng)，從模型基礎(chǔ)上保證了算法所用整數(shù)偽隨機(jī)序列的安全性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對(duì)于其它加密算法而言，本文設(shè)計(jì)的加密算法不僅密鑰空間無(wú)限大，而且易于并行實(shí)現(xiàn)，加密速度快，利于圖像數(shù)據(jù)的加密和實(shí)時(shí)傳輸?shù)膶?shí)現(xiàn)，同時(shí)還能很好地抵御各種常用的攻擊手段。

1 整數(shù)非線性耦合混沌系統(tǒng)

時(shí)空混沌模型中經(jīng)典的耦合帳篷映像格子模型(CML)的數(shù)學(xué)形式為

f(xn(i+1))]

(1)

此模型包含了時(shí)間上的并行迭代特征和空間上的耦合擴(kuò)散機(jī)理，通過(guò)多次并行迭代，很容易產(chǎn)生多維的偽隨機(jī)序列，但模型產(chǎn)生的多維偽隨機(jī)序列存在著相鄰序列的互相關(guān)性過(guò)大的缺點(diǎn)，同時(shí)，此模型是在實(shí)數(shù)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)的，有限精度的存在既不利于計(jì)算機(jī)高速計(jì)算的實(shí)現(xiàn)，又使得數(shù)字化混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性相較于連續(xù)系統(tǒng)而言存在著嚴(yán)重的退化。

為解決相鄰序列的互相關(guān)性過(guò)大的問(wèn)題，引入Arnold貓映射的方法，采用貓映射作為模型的空間格點(diǎn)耦合方式，解決了原模型相鄰序列的互信息值過(guò)大的問(wèn)題。其次引入動(dòng)態(tài)整數(shù)Tent映射構(gòu)造整數(shù)非線性耦合混沌模型，模型在整數(shù)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)，從而消除了有限精度對(duì)系統(tǒng)的不良影響。

由此構(gòu)造了整數(shù)非線性耦合混沌模型，其數(shù)學(xué)形式為

xn+1(i)=[f(xn(i))+f(xn(j))+f(xn(k))]mod(2a)

(2)

式中：2a表示系統(tǒng)可容納的最大狀態(tài)值，n為迭代步數(shù)；i=1,2,…,L為格點(diǎn)坐標(biāo)，L為系統(tǒng)格點(diǎn)數(shù)，且L大于等于4；邊界條件由xn(L+1)=xn(1)，xn(0)=xn(L)實(shí)現(xiàn)，初始條件xi∈[1,2a-1]。

非線性函數(shù)f選擇動(dòng)態(tài)整數(shù)Tent映射,其數(shù)學(xué)形式為

(3)

gi=xi+kimod2a

(4)

式中：系統(tǒng)的位數(shù)為a，xi∈[1,2a-1]，ki是Tent映射的水平移動(dòng)距離。

空間格點(diǎn)位置i，j，k之間由貓映射決定

(5)

其中，p和q是映射參數(shù)。

以下分別從獨(dú)立性(互信息)和均勻性(分布特性)兩個(gè)最根本的密碼學(xué)特性對(duì)整數(shù)非線性耦合混沌模型產(chǎn)生的整數(shù)偽隨機(jī)序列進(jìn)行密碼學(xué)特性分析。

1.1 互信息分析

互信息顯示了不同序列之間的統(tǒng)計(jì)約束程度，當(dāng)兩序列完全相關(guān)時(shí)互信息值最大，反之，兩序列相互獨(dú)立時(shí)互信息值為零。

圖1和圖2分別給出了兩種模型取100個(gè)空間格點(diǎn)、格點(diǎn)兩兩之間的互信息值。對(duì)比圖1和圖2可知，整數(shù)非線性耦合混沌模型很好地解決了耦合帳篷映像格子模型(CML)所產(chǎn)生的多維偽隨機(jī)序列中相鄰序列間互信息值過(guò)大的問(wèn)題，不同序列之間的互信息值都接近于零，任意格點(diǎn)的偽隨機(jī)序列都接近于相互獨(dú)立。

圖1 CML模型的互信息

1.2 序列不變分布特性分析

混沌偽隨機(jī)序列的不變分布特性能夠直觀地展示出各點(diǎn)狀態(tài)在不同取值區(qū)間的分布概率。

圖3和圖4分別給出了CML模型和整數(shù)非線性耦合混沌模型所產(chǎn)生的混沌偽隨機(jī)序列的不變分布特性曲線，對(duì)比兩圖可知整數(shù)非線性耦合混沌模型產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列具有良好的均勻分布特性，遠(yuǎn)優(yōu)于CML模型。

圖3 CML模型隨α變化的不變分布概率曲線

圖4 整數(shù)非線性耦合混沌模型的不變分布概率曲線

通過(guò)對(duì)整數(shù)非線性耦合混沌模型所產(chǎn)生的混沌偽隨機(jī)序列從獨(dú)立性和均勻性兩個(gè)最根本的密碼學(xué)特性進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明了本文構(gòu)造的整數(shù)非線性耦合混沌模型能夠快速、并行地產(chǎn)生多維混沌偽隨機(jī)序列，序列的密碼學(xué)特性優(yōu)良，能夠從根本上解決目前混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器難以產(chǎn)生同時(shí)具備均勻性和獨(dú)立性的多維序列的缺陷。

2 DNA序列

2.1 DNA序列操作

每個(gè)DNA序列都是由A、G、C、T這4種核酸堿基組成，其中A與T，C與G互補(bǔ)配對(duì)。在現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)理論中，所有的信息都是由二進(jìn)制數(shù)字0和1表示，且0和1是互補(bǔ)的，因此00和11、01和10也是互補(bǔ)的。在4！=24種編碼規(guī)則中只有8種滿足互補(bǔ)規(guī)則，見(jiàn)表1。

表1 滿足互補(bǔ)規(guī)則的8種DNA編碼規(guī)則

2.2 DNA互補(bǔ)規(guī)則

互補(bǔ)規(guī)則必須滿足條件：對(duì)于核酸串中的每個(gè)核酸xi有

(6)

式中：B(xi)是xi的基對(duì)(base pair)，它能保證單映射的互補(bǔ)規(guī)則成立。

2.3 Hamming距離

在DNA計(jì)算中，Hamming距離用于計(jì)算兩個(gè)長(zhǎng)度相同序列相應(yīng)位置具有不同項(xiàng)的數(shù)目。序列x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)的Hamming距離H(x,y)可定義為

(7)

2.4 DNA序列的加減法代數(shù)運(yùn)算

DNA序列的加法和減法是在兩位二進(jìn)制下按照傳統(tǒng)加法和減法運(yùn)算進(jìn)行的。與8種DNA編碼規(guī)則對(duì)應(yīng)，存在8種DNA加法規(guī)則和8種DNA減法規(guī)則。在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意，所有加減運(yùn)算都只有2位。

3 彩色圖像加密方案

整數(shù)非線性耦合混沌模型能快速、并行地產(chǎn)生性能良好的多維整數(shù)混沌偽隨機(jī)序列，這使得此模型能夠十分便利地應(yīng)用于圖像加密算法中。基于此模型和DNA編碼，本文設(shè)計(jì)了一種并行的彩色圖像加密算法。算法主要包含3個(gè)部分：圖像數(shù)據(jù)與整數(shù)偽隨機(jī)序列按位異或混淆灰度值、中間密文按DNA編碼規(guī)則進(jìn)行求補(bǔ)運(yùn)算、RGB三分量?jī)蓛勺鯠NA加法運(yùn)算。其中第一部分的按位異或能夠很好地發(fā)揮整數(shù)偽隨機(jī)序列良好的均勻性和隨機(jī)性優(yōu)勢(shì)；第二部分的求補(bǔ)運(yùn)算以整數(shù)偽隨機(jī)序列為參考量來(lái)決定是否進(jìn)行求補(bǔ)運(yùn)算，從而增大了算法的復(fù)雜度；第三部分三分量相互做DNA加法運(yùn)算彼此混淆，既很好地保證了算法對(duì)于明文的敏感性，又再次混淆了圖像的灰度值。圖5給出了算法的流程圖，具體加密步驟如下：

(1)讀取彩色圖像，得到圖像數(shù)據(jù)矩陣E[3,N*N]，并計(jì)算3個(gè)漢明距離H1,H2,H3(加密解密時(shí)都使用原圖的漢明距離)；

(2)給定L,p,q,k,H1,H2,H3及其它初值，生成混沌序列，并與圖像數(shù)據(jù)做按位異或運(yùn)算，得到中間密文P1[3,N*N](使用序列a1,a2,a3)；

(3)對(duì)P1進(jìn)行DNA編碼(編碼規(guī)則b1),得到P2[3,N*N*4]；

(4)當(dāng)混沌序列數(shù)值大于127時(shí)，對(duì)圖像編碼序列求補(bǔ)得到P2[3,N*N*4](使用序列a4,a5,a6)，求補(bǔ)規(guī)則為(A:00，T:11，G:01，C:10；A-T-C-G-A)；

(5)深入開(kāi)展水權(quán)試點(diǎn)研究工作。開(kāi)展相關(guān)專題研究，探索層次分析法與模糊決策理論，建立適宜黑龍江省實(shí)際情況的水權(quán)分配指標(biāo)體系，構(gòu)建初始水權(quán)分配模型，開(kāi)展水權(quán)初始配置應(yīng)用研究，編制五常市、慶安縣、肇州縣等試點(diǎn)水權(quán)確權(quán)實(shí)施方案，探索開(kāi)發(fā)考慮第三方影響的市場(chǎng)供需平衡的水權(quán)轉(zhuǎn)讓均衡定價(jià)技術(shù)方法，為黑龍江省水權(quán)試點(diǎn)工作推廣提供技術(shù)支撐。

(5)圖像R/G/B三原色矩陣P2[3,N*N*4]相互混淆做DNA加法得矩陣E[3,N*N*4]。相互混淆規(guī)則為(R=r+g、G=g+b、B=g+2b)；

(6)對(duì)E進(jìn)行DNA解碼(解碼規(guī)則b2),得到密文圖像矩陣[3,N*N]。

圖5 加密算法流程

解密步驟是加密步驟的逆過(guò)程。首先將密文圖像進(jìn)行DNA編碼，再對(duì)密文圖像三分量進(jìn)行DNA減法運(yùn)算進(jìn)行混淆，相互混淆的規(guī)則為加密時(shí)混淆規(guī)則的逆運(yùn)算，即(r=R+B-2G、g=2G-B、b=B-G)；然后選擇同樣的偽隨機(jī)序列進(jìn)行逆求補(bǔ)，規(guī)則為(A∶00，T∶11，G∶01，C∶10；A-G-C-T-A)；之后對(duì)密文圖像進(jìn)行解碼，再與偽隨機(jī)序列執(zhí)行按位異或運(yùn)算即可得到解密圖像。

4 并行實(shí)現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 算法的并行實(shí)現(xiàn)

本文設(shè)計(jì)的彩色圖像加密算法的主要理論基礎(chǔ)是整數(shù)非線性耦合混沌模型和DNA編碼及運(yùn)算，前者能快速、并行地產(chǎn)生性能良好的多維混沌偽隨機(jī)整數(shù)序列，后者本身也具備著高并發(fā)性易于實(shí)現(xiàn)的特性。因此，本文基于C#編程環(huán)境，充分利用.NET4.0及以上版本所提供的一個(gè)新的命名空間System.Threading.Tasks及其附屬的Parallel靜態(tài)類(System.Threading.Tasks.Parallel)，簡(jiǎn)單方便地發(fā)揮了多核計(jì)算機(jī)中多個(gè)邏輯內(nèi)核的作用，高速并行地對(duì)算法進(jìn)行了編程實(shí)現(xiàn)。并行程序主要包含彩色圖像三分量加密過(guò)程中的Task類命令式任務(wù)并行和大循環(huán)計(jì)算時(shí)的Pa-rallel類命令式數(shù)據(jù)并行兩大部分。

算法的實(shí)驗(yàn)環(huán)境為64位Windows系統(tǒng)，處理器為Intel(R)Core(TM) i7-2600CPU，3.4 GHz。針對(duì)算法，分別進(jìn)行了并行編程實(shí)現(xiàn)和串行編程實(shí)現(xiàn)，以標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Lena彩色圖像為例，運(yùn)行算法所花費(fèi)的時(shí)間統(tǒng)計(jì)為表2。同時(shí)表2也給出了文獻(xiàn)[7]對(duì)相同大小的彩色圖像加密的算法耗時(shí)和文獻(xiàn)[8]對(duì)相同大小的灰度圖像加密的算法耗時(shí)。對(duì)比表中數(shù)據(jù)可知，對(duì)于不同尺寸大小的彩色圖像，本文設(shè)計(jì)的算法的并行實(shí)現(xiàn)都能穩(wěn)定達(dá)到串行實(shí)現(xiàn)的兩倍速度以上。同時(shí)，算法并行實(shí)現(xiàn)的速度為文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)的算法的兩倍左右，文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)的算法的3倍左右。

表2 算法耗時(shí)統(tǒng)計(jì)

4.2 算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用Visual Studio 2013平臺(tái)，取512×512像素大小的Lena彩色標(biāo)準(zhǔn)圖像作為明文圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示，圖6可以看出，通過(guò)加密算法對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行加密，能夠完全隱藏原圖所包含的直觀信息，達(dá)到很好的保密效果，并且通過(guò)解密算法能夠無(wú)損地恢復(fù)原圖。

圖6 算法加密效果

5 算法安全性分析

5.1 密鑰空間及敏感性分析

(1)密鑰空間

對(duì)于任何的加密算法來(lái)說(shuō)，密鑰空間的大小都直接決定了其安全性的高低，當(dāng)密鑰空間較小時(shí)，就不可避免地會(huì)受到窮舉攻擊等暴力破解攻擊。本文算法采用了可變長(zhǎng)度的整數(shù)非線性耦合混沌模型，其空間格點(diǎn)大小可以任意選取(L≥4)，與之對(duì)應(yīng)的空間格點(diǎn)初始值的數(shù)量也是可變的，因此其密鑰空間可變，且可以無(wú)限大。本文可以選作密鑰的變量只要有兩個(gè)部分：一是混沌系統(tǒng)的初始值以及系統(tǒng)參數(shù)，二是加密過(guò)程中選取的混沌序列所在空間格點(diǎn)位置以及DNA編碼、解碼和求補(bǔ)規(guī)則的選取。當(dāng)今的密碼算法普遍認(rèn)為密鑰空間大于2^100就相對(duì)安全，本文算法中當(dāng)取10個(gè)空間格點(diǎn)時(shí)，其密鑰空間為：256^13×8^6×6^3×10^6=2^131×3^3×5^6≈2^146，滿足密鑰空間安全性要求。若將空間格點(diǎn)數(shù)增加到25，其密鑰空間將超過(guò)2^256，同樣將空間格點(diǎn)數(shù)增加到55，其密鑰空間將超過(guò)2^512，密鑰空間的安全性完全可以通過(guò)增加空間格點(diǎn)數(shù)量得到足夠的保證。

(2)密鑰敏感性分析

在實(shí)驗(yàn)中，對(duì)512×512像素大小的Lena彩色標(biāo)準(zhǔn)圖像加密后，分別采用正確密鑰和錯(cuò)誤密鑰解密，敏感性分析如圖7所示，改變其它密鑰參數(shù)也能得到相同結(jié)果。可知在解密過(guò)程中，即使密鑰只發(fā)生了微小的變化，解密過(guò)程也變成了一輪新的加密過(guò)程，無(wú)法得到正確的解密圖。

圖7 密鑰敏感性

5.2 抗統(tǒng)計(jì)攻擊分析

(1)直方圖分析

圖8給出了Lena彩色圖像加密前的明文圖像和用本文算法加密后的密文圖像的各分量灰度直方圖。對(duì)比可知，密文圖像各分量的灰度直方圖都呈現(xiàn)均勻分布的特點(diǎn)，很好地隱藏了原圖的統(tǒng)計(jì)信息。

圖8 灰度直方圖分析

(2)相鄰像素相關(guān)性分析

相關(guān)系數(shù)是用來(lái)分析和度量相鄰像素之間的相關(guān)程度的指標(biāo)，密文相關(guān)性越低，相關(guān)系數(shù)越接近于零。對(duì)明文圖像和密文圖像分別隨機(jī)選取了5000組相鄰像素，從水平、垂直和對(duì)角線3個(gè)不同方向計(jì)算密文圖像的相鄰像素相關(guān)系數(shù)，見(jiàn)表3，同時(shí)，表3也給出了文獻(xiàn)[8]中密文圖像的相鄰像素的相關(guān)系數(shù)。對(duì)比表中數(shù)據(jù)可知，使用本文算法加密得到的密文圖像相鄰像素相關(guān)系數(shù)更接近于零，這表明明文圖像所包含的統(tǒng)計(jì)特性已經(jīng)充分?jǐn)U散到密文圖像中，算法可以抵抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊。

表3 密文圖像相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)

(3)信息熵測(cè)試

信息熵可以用來(lái)表征圖像像素分布隨機(jī)性的強(qiáng)弱。由于圖像像素值的取值有256種可能，所以圖像數(shù)據(jù)信息熵的最大理想值為8。表4給出了512×512的Lena彩色圖像的明文和幾種加密方案對(duì)其進(jìn)行加密后的密文圖像的信息熵，對(duì)比表中數(shù)據(jù)可知本文算法能夠得到的密文圖像的信息熵更為接近理想值8。

表4 Lena圖像信息熵比較

5.3 抗差分攻擊分析

差分攻擊是常用的已知明文攻擊的攻擊方法，圖像加密算法要做到能夠抵抗差分攻擊，就必須對(duì)明文足夠敏感。一般使用像素變化率(NPCR)和歸一化像素值平均改變強(qiáng)度(UACI)這兩個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量加密算法對(duì)明文的敏感性，其理想值分別為99.6094%和33.4635%[11]。

表5給出了本文算法和另外兩種不同加密方式的NPCR和UACI值。對(duì)比表中數(shù)據(jù)可知，本文設(shè)計(jì)的加密算法更能抵抗差分攻擊。

表5 明文敏感性分析比較

6 結(jié)束語(yǔ)

本文首先構(gòu)造了一種基于整數(shù)非線性耦合的時(shí)空混沌模型，通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了此模型能夠快速、并行地產(chǎn)生多維整數(shù)混沌偽隨機(jī)序列，且序列同時(shí)具備均勻性和獨(dú)立性，從而克服了混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器設(shè)計(jì)中存在的根本性缺陷。

基于此模型，設(shè)計(jì)了一種使用DNA編碼的彩色圖像加密算法，并利用多核處理器的優(yōu)點(diǎn)對(duì)算法進(jìn)行了并行實(shí)現(xiàn)。算法主要包含3個(gè)部分：圖像數(shù)據(jù)與整數(shù)偽隨機(jī)序列按位異或混淆灰度值、中間密文按DNA編碼規(guī)則進(jìn)行求補(bǔ)運(yùn)算、RGB三分量?jī)蓛勺鯠NA加法運(yùn)算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的彩色圖像加密算法密鑰空間可變且足夠大，算法能夠有效地抵抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊和差分攻擊，安全可靠，算法的并行實(shí)現(xiàn)使得算法的加密速度較串行實(shí)現(xiàn)提高了至少兩倍，在圖像信息的存儲(chǔ)和實(shí)時(shí)傳輸中具有極大的實(shí)用價(jià)值。