基于交叉熵與風險偏好的多屬性決策分析

梅孔椿,,,2,

(1.安徽大學 數學科學學院,合肥 230601; 2.安徽大學 計算智能與信號處理教育部重點實驗室,合肥 230039; 3.安徽廣播電視大學 教育科學學院,合肥 230022)

0 概述

自模糊集理論[1]被提出以來,目前已經被廣泛應用于生物醫學、航空航天、統計決策等各個領域。隨著人們對模糊集理論研究的深入以及實際應用的不斷變化,傳統的模糊集理論已經不能滿足發展需要。因此,二型模糊集理論[2]被提出。二型模糊集理論相關研究[3-4]的展開,使其比一型模糊集理論有了更為廣泛的應用與發展。例如:文獻[5]提出了一個新的表示定理,為分析區間二型模糊集(Interval Type-2 Fuzzy Sets,IT2FSs)提供了方便;文獻[6]提出了區間二型模糊集的3種排序值公式,將模糊集的優劣關系以函數的形式表達出來;文獻[7]提出了模糊熵的概念。在對二型模糊集和區間二型模糊集的研究中,熵的提出是對二型模糊集不確定性程度的一種度量。例如:文獻[8]定義了對IT2FSs不確定性的測度,如質心、基數、方差等;文獻[9-11]對模糊集的不確定性熵度量等做了深入研究,并提出以猶豫模糊熵的概念來度量模糊集的猶豫度;文獻[12-13]提出了區間二型模糊集的模糊因子、猶豫因子等模糊信息測度。此外,文獻[14]提出的T2FSs不確定測度以及文獻[15]提出的對直覺模糊熵的幾何構造方法,都對二型模糊集的不確定性熵研究提供了重要參考。

在多屬性決策過程中,除了考慮決策的客觀因素外,更要考慮到決策者的主觀因素,即決策者的風險偏好,決策者的風險偏好往往會影響到最終的決策結果。本文首先設計一種新的排序值公式,同時定義風險偏好因子并引入區間二型模糊交叉熵公式;然后基于交叉熵和風險偏好因子分別在屬性權重完全未知和屬性權重部分已知的情況下,構建最優化線性模型,探討風險偏好對屬性權重的影響;最后列舉一個實例驗證該模型的可行性與有效性。

1 知識準備

定義1(二型模糊集) 假設A是論域X上一個二型模糊集,則A可表示為A={((x,u),μA(x,u)):?x∈X,u∈Jx∈[0,1]},其中,0≤μA(x,u)≤1,u為主隸屬度,μA(x,u)為次隸屬度。此外,A還可以表示為[16]:

(1)

定義2假設A是論域X上一個二型模糊集,如果對任意的x∈X和u∈Jx有Jx≡1,則A就為區間二型模糊集,表達形式如下[16]:

(2)

設A是論域X上一個二型模糊集,定義A=(AU,AL)為X上的區間二型模糊集,因此,有:

定義3對于任意的區間二型梯形模糊集A,A的運動軌跡由其主隸屬度函數完全確定,將此運動軌跡定義為A的不確定軌跡FOU(A),令AU(x)和AL(x)分別表示為A在x上的上下隸屬度函數,則AU(x)和AL(x)表示如下:

(4)

(5)

對于X上的所有區間二型梯形模糊集來說,其補集用AC表示,一般表達形式定義如下:

AC= ((AC)U,(AC)L)=

2 區間二型模糊集的排序值公式

文獻[6]提出了區間二型模糊集的算術平均、幾何平均以及調和平均3種排序值公式,其中幾何平均和調和平均排序值公式存在以下弊端:當二型模糊集中只要有元素為0,排序值就為0,這與實際情況是不符的。因此,本文在此基礎上提出一種新的排序值公式,以解決該問題。

定義5對于一個區間二型梯形模糊集A,其排序值公式定義如下:

根據定義6,A、B的偏好關系可以通過式(6)得到,這是因為排序值都是實數,實數是可以對比大小的,所以對任意的2個區間二型梯型模糊集A、B,利用排序值公式可以得到其間的3種對應關系,本文規定如下:

1)如果R(A)

2)如果R(A)>R(B),即表示A優于B,用A?B表示。

3)如果R(A)=R(B),即表示A等同于B,用A?B表示。

定理1設A是區間二型梯型模糊集X上的一個模糊數,對任意的A都有0≤R(A)≤2。證明如下:

因此,得到0≤R(A)≤(1+1)×1=2。

設X是一個論域,對于任意的A∈X,0≤R(A)≤2,且排序值越大越優,即當A,B∈X時,如果R(A)>R(B),則記為R(A)?R(B),反之,即為R(A)R(B)(R(A)

3 區間二型模糊熵

在區間二型模糊環境中度量2個區間二型模糊集的模糊關系,在實際應用中具有非常重要的作用。文獻[17]對區間二型模糊熵做了一些研究,對研究區間二型模糊的不確定性有一定的幫助。本文給出一種在區間二型模糊集中的交叉熵,以描述2個區間二型模糊集之間不確定信息的識別程度。交叉熵的不確定性度量包含3個部分:模糊性,猶豫性和區間性(分別用δ、σ、φ表示)。本文利用區間二型模糊集的模糊性、猶豫性和區間性度量2個模糊集之間不確定信息的識別程度。

對任意一個A∈X,式(7)表示模糊因子,式(8)表示猶豫因子。

IT2TFS的區間因子表示如下:

(9)

定義7設A,B∈X,則A對B的區間二型模糊交叉熵定義如下:

(10)

從式(10)中可以觀察到CE(A,B)是不對稱的,因此,給出如下對稱形式:

DE(A,B)=CE(A,B)+CE(B,A)

定理2設A∈X,DE(A,B)是區間二型模糊集A、B的對稱交叉熵,則DE(A,B)滿足以下3個性質:

性質1DE(A,B)=DE(B,A)。

性質2DE(A,B)=DE(AC,B)=DE(A,BC)=DE(AC,BC)。

性質30≤DE(A,B)≤3ln2。

證明如下:

性質1:很容易可以驗證,不再證明。

性質2:因為前面已經證得δA=δAC,σA=σAC以及φA=φAC,同理可得到δB=δBC,σB=σBC以及φB=φBC,可以得到DE(A,B)=DE(AC,B),DE(AC,B)=DE(A,BC)以及DE(A,BC)=DE(AC,BC),所以性質2得證。

定義8設A∈X,C*是一個確定的模糊集,則區間二型模糊集A的熵定義如下:

(11)

相對于δ*、σ*和φ*,區間二型模糊集A的熵E=f(δ*,σ*,φ*)是實值函數,因此,對任意A∈X,熵E(A)滿足以下4條公理化性質:

2)對任意的A∈X,0≤E(A)≤1。

3)E(A)=E(AC)。

4)f(δA,σA,φA)是一個連續的實值函數,且隨著δA的增大而減小,隨著σA、φA的增大而增大。

證明如下:

第1條性質證明:假設C*是一個明確集,那么A=C*或A=(C*)C,所以有DE(A,C*)=0?E(A)=0。反之,假設E(A)=0,即DE(A,C*)=0,因此,由定義8可知δA=δC*=1/2,σA=σC*=0,φA=φC*=0,即A=C*或A=(C*)C,即A是一個明確集。

第2條和第3條性質由以上的定義定理便可證明。

由上述分析可知,f(x,y,z)隨著x的增大而減小,隨著y和z的增大而增大。同理可知f(δA,σA,φA)是一個連續的實值函數,且隨著δA的增大而減小,隨著σA、φA的增大而增大。

4 風險偏好函數

風險偏好是決策者對風險的一種偏好程度。風險是可測量的,但不確定性是難以度量的。風險偏好是一種不確定性,面對這種不確定性,決策者的態度和傾向是風險偏好的具體體現。文獻[18]探究了風險態度對決策的影響關系,這對本文研究金融風險偏好有重要意義。本文在區間二型模糊環境中引入風險偏好因子來探究決策者的不同風險偏好態度對其在決策方面所造成的影響。因為不同決策者風險的態度是存在差異的,一部分人可能喜歡大得大失的刺激,另一部分人則可能更愿意“求穩”,根據決策者對風險偏好的不同,可以將其分為風險規避型、相對風險規避型、風險中性型、相對風險偏好型、和風險偏好型,所以根據決策者的風險態度的不同設置風險偏好函數。

定義9設θ(x)是一個風險偏好函數,則θ(x)可定義如下:

用θ(x)的不同取值反映決策者的風險態度。假設決策者在不同屬性類型下的決策信息以區間二型模糊集的形式給出,區間二型模糊集的模糊熵即為它的不確定性風險,因此,本文基于上述的觀點構造投資者風險偏好不確定度量如下:

(12)

該函數反映的是投資者在對風險有風險偏好態度的情況下的風險偏好得分。

5 最優線性規劃模型

由對于一個區間二型模糊集而言,其排序值越大越好,同時風險偏好函數越小越好。基于此,本文構建不同風險偏好下的權重模型。

情況1當屬性權重完全未知時,構造以下線性規劃模型:

為求解上述線性優化模型,可以使用等權求和法將上述多目標優化模型轉化為以下單目標優化模型:

構造拉格朗日函數模型:

其中,λ為參數。求L(wj,λ)對wj和λ的一階偏導數,并令它們等于0,即:

求解上述方程組可以得到最優權重w=(w1,w2,…,wm)。

然后對其進行歸一化處理得到:

最后得到最優屬性權重:

情況2當屬性權重是部分已知時,構造以下線性模型:

其中,Φ表示部分已知的屬性權重信息。

w∈Φ= {0.1≤w1≤0.2,0.1≤w1≤0.3,0.3≤

w1≤0.4,0.1≤w1≤0.3}

同理,可以將其轉化為單目標優化模型,計算權重。

6 決策步驟

基于排序值、風險偏好函數和交叉熵的多屬性決策方法步驟如下:

步驟1根據屬性類型不同將原始矩陣A=(aij)n×m規范化為規范矩陣D=(dij)n×m,其中:

步驟2基于定義5計算規范化決策矩陣的排序值R=(rij)n×m。

步驟3基于定義8計算區間二型模糊交叉熵E=(eij)n×m。

步驟4根據風險偏好的不同,得到線性規劃模型的不同最優權重。

步驟5將規范化矩陣D=(dij)n×m轉化為得分矩陣S=(sij)n×m。

步驟6利用Score=SωT計算各方案的綜合得分,并按得分多少從大到小排序,最大者即為最優方案。

7 實例分析

某風險投資公司計劃從如下5個項目中選擇一個進行投資:移動通信(x1),新能源技術(x2),生物醫藥(x3),低碳減排技術(x4),智能交通(x5),公司聘請專家對這5個項目分別從效益率(a1)、技術成熟度(a2)、發展前景(a3)和潛在風險(a4)等方面進行評估。

評估結果用語言進行標度,分為“非常低(VL)”“低(L)”“比較低(ML)”“中等(M)”“比較高(MH)”“高(H)”“非常高(VH)”,每個語言標度對應一個(梯形)區間二型模糊集,如表1所示,專家的評估結果如表2所示。

表1 語言標度及其對應的區間二型模糊集

表2 專家評估結果

下面基于本文介紹的新的排序值公式,風險偏好函數和交叉熵的多屬性決策方法處理該公司的項目投資問題。

步驟1由于屬性a1～a3屬于效益性屬性,而屬性a4屬于成本型屬性,因此對原始決策矩陣進行規范化得到規范化矩陣D=(dij)n×m。

步驟2計算規范化決策矩陣的排序值:

(22)

步驟3基于定義8計算區間二型模糊交熵:

(23)

步驟4根據風險偏好的不同,得到對應線性規劃模型的最優權重。

1)假定屬性權重完全未知時,引入2個參數統一量綱后的最優線性規劃模型為:

2)假定屬性權重部分已知時,引入2個參數統一量綱后的最優線性規劃模型為:

基于式(24),圖1和圖2顯示了在模型風險偏好θ(x)變化的條件下屬性權重的變化情況。

圖1 屬性權重完全未知時不同風險偏好下w1、w2的變化情況

圖2 屬性權重完全未知時不同風險偏好下w3、w4的變化情況

當屬性權重部分已知時,同樣對模型進行統一量綱處理,屬性權重在不同風險偏好下的變化情況如圖3和圖4所示。

圖3 屬性權重部分已知時不同風險偏好下w1、w2的變化情況

圖4 屬性權重部分已知時不同風險偏好下w3、w4的變化情況

隨著風險偏好值從0到1的變化,當權重完全未知時(情況1),w1、w2、w4逐漸減小,w3逐漸增大;當屬性權重部分已知時(情況2),w1逐漸減小,w2、w4逐漸增大。由此,可以說明風險偏好對屬性權重有影響。

步驟5將規范化矩陣D=(dij)n×m轉化為得分矩陣S=(sij)n×m。

根據式(21)分別計算規范化矩陣D=(dij)n×m的上下隸屬度函數的得分矩陣SU和SL如下:

(26)

(27)

(28)

步驟6利用Score=SωT計算各方案的綜合得分(屬性權重完全未知時),并按得分多少從大到小排序,如表3所示,最大者即為最優方案。

表3 屬性權重完全未知時不同風險偏好下的方案排序

利用公式Score=SωT計算各方案的綜合得分(屬性權重部分已知時),并按得分多少從大到小排序,如表4所示,最大者即為最優方案。

表4 屬性權重部分已知時不同風險偏好下的方案排序

構建模型后,通過偏好函數取值的不同得到對應的最優權重,并利用得分公式得到最終的得分值并排序。根據上述結果,可以發現整體排名結果不變,符合實際,這意味著該模型是穩定可行的。同時,根據文中模型和得出的數據可以知道決策者風險偏好的不同對屬性權重也有相應的影響,且隨著風險偏好的變化,屬性權重是有趨勢地變化的,這說明風險偏好對屬性權重是有影響的。

8 方法比較

本文方法相對于文獻[6,12-13]等針對區間二型模糊集的多屬性決策方法有以下優勢:

1)針對文獻[7]提出的區間二型模糊排序值公式存在當二型模糊集中只要有元素為0排序值就為0的問題,本文改進并提出了一種新的區間二型模糊排序值公式。新的排序值公式相比文獻[6]重點突出了元素的大小對區間二型模糊排序值大小的影響,使得排序值公式更加穩定可靠。

2)度量區間二型模糊集的模糊性、猶豫性和區間性,并利用區間二型模糊集的模糊性、猶豫性和區間性去度量模糊集之間不確定信息的識別程度作為區間二型模糊集的不確定熵,既考慮了區間二型模糊集自身的不確定性,同時又突出了模糊集之間的相互影響對決策的影響。

3)針對在實際的區間二型模糊多屬性決策中,人們往往只考慮了決策的客觀因素而忽略決策的主觀因素,即決策者的風險偏好這一問題,本文提出了風險偏好因子重點探究決策者風險偏好的不同對屬性權重(屬性重要程度的定量分配,即決策者對各屬性的重視程度)的影響。根據投資體對風險偏好的不同,將其分為風險規避性、風險中立型和風險偏好型。同時將區間二型模糊的不確定交叉熵作為評價指標的不確定性,利用交叉熵和風險偏好因子設置風險偏好函數,并根據決策者的風險態度的不同,得到對應的最優權重,然后以表格以及圖表的形式更加直觀地觀察到風險態度對決策的影響,這一決策方法對于金融投資來說具有非常重要的實際意義。

9 結束語

在多屬性決策過程中,除了要考慮決策的客觀因素外,更要考慮到決策者的主觀因素,即決策者的風險偏好。每位決策者在進行決策時都有自己的風險偏好,且決策者的風險偏好往往可能會影響到最終的決策結果。為此,本文提出了風險偏好因子、新的排序值公式以及區間二型模糊交叉熵公式,基于此構造排序值、風險偏好因子和交叉熵最優線性規劃模型。下一步將對區間二型梯形模糊的不確定熵和交叉熵在投資、供應商選擇以及航運等問題中的應用進行研究。