巧用相似三角形的性質解三角形面積規律問題

趙永旺

(山東省東營市廣饒濱海學校 257345)

筆者在近幾年的中考模擬與中考試題中，關于三角形的面積規律問題研究發現，命題人在命題時從課程標準出發，以找規律的形式對三角形相似的判定與性質這一知識點進行考查，規律最后的得出都源于同一知識點，下面以例析的形式對此類問題的解法進行歸納，以供大家參考.

圖1

例題1 (2013·浙江自主招生)如圖1，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△B2D1C1的面積為S1，△B3D2C2的面積為S2，…，△Bn+1DnCn的面積為Sn，則Sn= (用含n的式子表示)．

分析由n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B1，B2，B3，…Bn在一條直線上，可作出直線B1B2．易求得△AB1C1的面積，然后由相似三角形的性質，易求得S1的值，同理求得S2的值，繼而求得Sn的值．

圖2

解答n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B1，B2，B3，…Bn在一條直線上，作出直線B1B2.

∴AB1∥B2C1，∴△B1C1B2是等邊△，且邊長=2，

∴△B1B2D1∽△C1AD1，

同理：BnBn+1∶ACn=1∶n，∴BnDn∶DnCn=1∶n，

點評此題考查了相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．此題難度較大，屬于規律性題目，注意輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．

例題2 (2016年濰坊市臨朐、昌邑一模)如圖3，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…,Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…,△BnCnMn的面積為Sn，則Sn= ．(用含n的式子表示)

圖3

分析由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…,Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，即可求得△B1C1Mn的面積，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案.

解答∵n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…,Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，

∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，

點評此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及直角三角形面積的公式.此題難度較大，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應用是解此題的關鍵.

圖4

例題3 如圖4，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過點A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，連接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于點P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、…、△AnBnPn的面積依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn為 .

分析根據圖象上點的坐標性質得出點B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各點坐標，進而利用相似三角形的判定與性質得出S1、S2、S3、…、Sn，進而得出答案.

解答∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過點A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，∴B1的橫坐標為：1，縱坐標為：2，

∴B1(1，2)，同理可得：B2的橫坐標為：2，縱坐標為：4，則B2(2，4)，B3(3，6)，….

∴△A1B1P1與△A2B2P2對應高的比為：1∶2，

點評此題考查了一次函數函數圖象上點的坐標特點，先根據題意得出B點坐標變化規律進而得出S的變化規律，得出圖形面積變化規律是解題關鍵.

通過對以上四個例題的解析，我們可以看出，這類問題都是利用了相似三角形的判定與性質，結合三角形的面積公式，通過計算找出規律.以后遇到此類問題要想到就是對三角形的判定與性質的考查，不要再去產生其它盲目想法，認清方法，仔細推算，總結規律，準確寫出通式.