前推回代法在故障配電網中的收斂性分析及改進算法

梁夢可，滕歡，李雪松，吳澤穹

(四川大學 電氣信息學院,成都 610065)

0 引 言

配電網潮流計算是配電網經濟安全運行分析、網絡重構和故障處理的基礎，而與輸電網絡相比，具有自己獨特的特點，配電網往往呈現出輻射狀結構(閉環設計)、存在較多分支和高阻抗比等特點。在進行配電網潮流計算時，雅克比矩陣會呈現奇異特征，導致傳統的PQ分解法和牛頓拉夫遜法會出現收斂困難，計算緩慢，效率不高等特點。

傳統的前推回代潮流算法，對于輻射狀和高阻抗比的配電網具有良好的適應性，其具有計算原理簡單，收斂性好，精確度高等特點，使得其在配電網潮流計算中得到了廣泛應用[1-2]。文獻[3-5]針對前推回代潮流算法進行了一定改進措施，提高了其潮流運算速度；文獻[6]考慮了負荷的電壓靜態特性，完善了其實際應用性。隨著分布式電源的發展，傳統配電網網絡從單一電源轉化為包含各種新能源的多電源網絡；文獻[7-8]分別從新能源接入配電網的角度進行了考慮，分別對傳統的前推回代算法進行了一定改進。

針對故障配電網的潮流計算卻少有研究和考慮，文獻[9]將前推回代潮流算法應用到了配電網故障定位中，但是忽略了故障點將改變配電網的收斂特性，使得傳統的前推回代潮流算法呈現發散狀態。針對配電網故障潮流不收斂的現象，分析了故障點導致前推回代潮流算法難以收斂的原因，通過添加松弛因子，對傳統的前推回代潮流算法進行改進，改善了潮流計算的收斂性，并保證了潮流運算結果的準確性。該方法通過在迭代向量之間添加松弛因子，對新的迭代向量進行約束，減小了不動點迭代矩陣的譜半徑，使之滿足壓縮映射的條件，從而保證潮流計算的收斂性[10]。通過在MATLAB上進行算例仿真，驗證了該方法的有效性和準確性。

1 前推后代潮流算法原理

在實際應用中，大規模科學與工程計算產生的方程系數往往是大型稀疏矩陣，此類方程的求解往往采用迭代法。前推回代潮流算法本質也是通過迭代算法求解線性代數方程組，因此會面臨收斂性問題[11]。

1.1 迭代方程的原理分析

(1)

V是結點電壓向量，為：

(2)

設x(0)是初始迭代向量，則Jacobi迭代算法的迭代矩陣可表示為：

xk+1=Bxk+g

(3)

式中迭代向量x=[INV]T；g是常數向量。

根據分析可知，基于前推回代的潮流算法采用的Guass迭代法。在Jacobi算法基礎上進行了改進，其迭代矩陣B可分解為：

B=L+U

(4)

式中L是矩陣B的嚴格下三角矩陣；U是矩陣B的嚴格上三角矩陣。

Guass迭代法的分量形式為：

(5)

其矩陣形式為：

xk+1=Lxk+1+Uxk+g

(6)

通過對式(6)進行變形，構造的迭代方程為：

(7)

ρ((I-L)-1U)<1

(8)

對于正常運行的配電網，前推回代潮流算法能夠取得良好的收斂性；但是，針對故障配電網，故障點將改變迭代矩陣的收斂性，甚至趨于發散狀態。文章在式(5)的基礎上，通過添加松弛因子改變其收斂性，其分量形式為：

(9)

迭代方程的矩陣形式為：

xk+1=(1-ω)xk+ω(Lxk+1+Uxk+g)

(10)

對其進行變形，即：

(11)

式中ξ是Guass法的迭代矩陣，根據ξ的譜半徑可以確定迭代方程是否收斂。當ξ的譜半徑小于1，迭代方程處于收斂狀態，即：

ρ(ξ)<1

(12)

1.2 迭代矩陣B和常數向量g

配電網呈現輻射狀特點，采用結點分層來描述網絡結構，其原始數據記錄如下格式：

支路參數矩陣BranchM:

{父節點子節點支路阻抗參數}

任一條支路的子節點具有唯一性，則阻抗ZLj可表示子節點是j的支路，即:

結點參數矩陣NodeM:

{結點號有功功率無功功率}

在配電網潮流計算中，負荷的模型的選取直接影響算法的收斂性，在短路計算中，負荷模型通常選取恒定阻抗模型。假定在故障前后，負荷的阻抗恒定不變，通過故障前的功率數據計算出負載阻抗ZLD，即：

(13)

式中PLD和QLD是故障前的負載有功和無功功率；VLD是故障前的負載電壓[12]。

根據配電網的支路參數矩陣中節點關系，可求得此種關系運行方式下的結點關聯矩陣AT，矩陣AT可表示整個配電網結構[13]。

(14)

式中n表示節點總數；aij表示節點i與結點j的關系，只有當結點i是父節點，子節點是結點j時，aij=1；否則，aij=0。

針對迭代矩陣B收斂性分析,需要對其進行參數求解，根據公式，配電網的線性方程為：

(15)

式中n-1階方陣Bn是迭代矩陣B的分塊矩陣；n-1階向量gn是常向量g的子向量；根據配電網結點關聯關系，本文將分別對Bn和gn進行求解。

根據算法原理可知結點負載電流只有結點電壓有關，則B1和g1是零矩陣，B2是對角陣；其可表示為：

(16)

即：

(17)

根據基爾霍夫定理，忽略線路對地導納情況下，線路電流Iij等于結點j的負載電流和所有下游結點負載電流之和，根據關系矩陣AT可求得矩陣ATH，為：

(18)

式中i，j表示ATH(i，j)在矩陣ATH位置，假定ATH(i，j)=1，則表示結點j是結點i的下游結點。令ATH的對角元素為1，即：

ATH(i,i)=1i=1,2,…,n

(19)

則流經支路Lij電流為：

(20)

式中向量ATH(j,2:n)是矩陣ATH的j行、2到n列的元素。

同理ATO是AT的轉置矩陣，可以表示子節點與其對應的父節點的關系，例如矩陣ATO中存在aij=1，則表示節點j的父節點是結點i，其結點i的電壓為：

(21)

對于任一條支路，其子節點與父節點的電壓關系為：

(22)

根據式(22)，可得：

(23)

B4=AOT(2:n,2:n)

結點2的電壓跟根節點電壓有關，即：

(24)

可知：

(25)

式中向量g2中其他元素為零。

通過對潮流計算原理以及迭代矩陣B收斂性分析，當配電網發生對地故障時，故障點將改變最初建立的迭代矩陣B，根據式(8)可知，進而影響迭代算法的收斂性。當迭代方程的譜半徑大于1時，算法的收斂性將會被破壞，進而導致不收斂現象的發生，通過添加松弛因子能夠使得遭到破壞的迭代矩陣重新收斂，將在第三章進行算例分析和驗證。

2 改進前推回代潮流算法

配電網往往呈現輻射狀結構，前推后代法是配電網潮流計算中廣泛采用的一種方法。改進前推回代潮流計算過程如下：

(2)從第一層的末梢負荷結點開始，根據負載阻抗，由k次迭代的結點電壓可計算流入該節點j的負載電流，為：

(26)

式中j是最末稍結點的負荷節點號；i是所在線路區段末結點的父節點號。

(3)從第二層(非末梢結點)開始逐層計算支路電流，根據基爾霍夫定理可求得：

(27)

式中j為是支路子節點號；i是該節點的父節點。

(4)由步驟(2)和步驟(3)可求得所有支路的電流，再根據已知的根節點電壓，由根節點向后依次求得各個負荷結點的電壓，為：

(28)

(29)

(4)計算各個負荷節點的電壓幅值修正值。

(30)

(5)計算結點電壓修正量的最大值max(ΔUj)；

(6)判斷收斂條件

max(ΔUj)<ε

(31)

式中若最大電壓修正量小于閾值，則跳出循環，輸出結點電壓值和負載電流；否則重復以上步驟，直至滿足收斂條件。迭代結束后，輸出結點電壓和負載電流。

3 算例分析

以IEEE33結點標準模型進行算例分析，其結構及結點編號如圖1所示。

圖1 IEEE 33結點標準模型Fig.1 Model of the IEEE 33-node test feeder

假定在結點15和16中間位置發生對地故障，故障電阻是5 Ω。利用Guass迭代法的前推回代潮流算法進行計算，仿真結果證明配電網在故障狀態下，此算法不能處于收斂狀態，最終求得的結點電壓和負荷電流趨于無窮大。對迭代矩陣進行收斂性分析，求得其譜半徑為：

ρ((I-L)-1U)=1.303

(32)

因此，前推回代算法的迭代方程不滿足收斂狀態，驗證了仿真結果。

對改進的潮流算法進行仿真分析，當松弛因子ω=0.5時，其譜半徑為：

ρ(ξ)=0.831

(33)

改進的潮流算法通過松弛因子改變了迭代方程的譜半徑，使之滿足壓縮映射的條件，從而保證潮流計算的收斂性。

為了進一步對兩種算法進行對比，選取故障點為分析結點，分析其電壓幅值和迭代次數的關系。改進前的算法，其結果如圖2所示；改進后的算法，其結果如圖3所示。

分析可知：改進前的算法在故障情況下不具有收斂性，結點電壓隨著迭代次數增加趨于無窮，并且在前20次迭代過程中，由于新的迭代電壓不受前次結點電壓的約束，整個迭代過程呈現振蕩遞增；對比可知改進的算法能夠保持較好的收斂性，迭代過程呈現振蕩衰減，并且逐漸趨于穩定值，證明了松弛因子ω能夠對結點電壓進行約束，使得迭代過程從發散狀態轉化為收斂狀態。

圖2 前推回代法電壓與迭代次數關系Fig.2 Relation between voltage and iteration times under forward/backward sweep substitution

圖3 改進算法下電壓與迭代次數關系Fig.3 Relation between voltage and iteration times under improved algorithm

通過仿真算例驗證了改進算法的可行性，而且在相同工況條件下，對松弛因子ω和迭代次數n的函數關系進行了分析，其函數關系如圖4所示，在ω=0.82，存在最小迭代次數n=25。

分析可知：在相同運行條件下，松弛因子直接影響改進算法的迭代次數，較小的松弛因子由于嚴格約束迭代向量的更新，相應會增加迭代次數；而較大的松弛因子導致改進算法的不收斂性增加，也會增加迭代次數；因此最優松弛因子不僅保證算法的收斂，而且能夠加快算法運行速度。

圖4 迭代次數與松弛因子關系Fig.4 Relation between iteration times and relaxation factor

根據改進潮流算法對配電網進行故障潮流計算，其結點電壓和負載電流如表1所示。

表1 計算結果Tab.1 Calculation results

4 結束語

前推回代潮流算法針對正常運行的配電網具有較好的實用性，但是對于配電網故障潮流的計算卻存在不收斂現象。文中從本質上分析了此算法的數學原理以及不收斂的原因，在傳統算法的基礎上對其進行了改進；通過添加松弛因子，對迭代向量進行約束，從而改變了算法的收斂性。通過在Matlab上進行算例分析，驗證了此算法的實用性和收斂性，并且提出了最優松弛因子的理念，但是對于不同故障條件下，針對最優松弛的選取問題，仍需要進一步研究和分析。