數(shù)列精選9題

■本刊編輯部

1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an是Sn和1的等差中項(xiàng),等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=S3。

(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)c=,數(shù)列{c}的前n項(xiàng)和nn為,證明:≤＜。

2.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a1=2,且a2+1,a4+1,a8+1成等比數(shù)列。

(1)求數(shù)列an{}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{}滿足=,求適合方程的正整數(shù)n的值。

3.在數(shù)列an{}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí)anan-1=n。

(1)求數(shù)列an{}的通項(xiàng)公式an;

(2)在△ABC中,AB=,cosC=,求△ABC周長的最大值。

4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn+an=1,數(shù)列{bn}滿足bn=n。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn。

(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和是。

6.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2,數(shù)列{bn}滿足

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

7.已知直線l的方程為3x-2y-1=0,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(an,Sn)在直線l上。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2,數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,求f(n)=(n∈N*)的最大值。

8.已知數(shù)列{an}滿足an+1-2an=0且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若bn=anlog12an,Sn=b1+b2+b3+…+bn,求使Sn+n·2n+1＞62成立的正整數(shù)n的最小值。

9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若2Sn=2n+1+λ(λ∈R)。

(1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求λ的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)在(1)的條件下,若數(shù)列{bn}滿足,求數(shù)列的前nn項(xiàng)和的表達(dá)式。

參考答案

1.(1)因?yàn)閍n是Sn和1的等差中項(xiàng),所以Sn=2an-1。

當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1-1,則a1=1。

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,即an=2an-1,故數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則an=2n-1。

設(shè){bn}的公差為d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,則d=2,bn=2n-1。

因n∈N*,則

所以Tn-Tn-1=,即數(shù)列{Tn}是一個(gè)遞增數(shù)列,則≥=。

綜上所述,≤＜。

2.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2+1,a4+1,a8+1成等比數(shù)列,得(3+3d)2=(3+d)(3+7d),解得d=3或d=0(舍)。

故an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。

3.(1)因a1=1,且當(dāng)n≥2時(shí),an-an-1=n。所以當(dāng)n≥2時(shí),an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+

又=1滿足上式,故

(2)由(1)得AB=a3=6,cos。由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,即36=(AC+BC)2-AC·BC。又AC·,所以36≥(AC+BC)2-(AC+BC)2,所以AC+BC≤6,所以周長=AB+AC+BC≤6+6(當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=33時(shí)取等號(hào))。

故△ABC周長的最大值為6+6。

4.(1)當(dāng)n=1時(shí),2當(dāng)n≥2時(shí),2Sn+an=1,2Sn-1+an-1=1,兩式相減可得2an+an-an-1=0

所以數(shù)列}是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列。所以

故

5.(1)因?yàn)镹*,所以

所以

所以數(shù)列為公比的等比數(shù)列。

所以

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

又2+4+6+…+2n=n2+n,所以Sn=(或?qū)懗善渌葍r(jià)形式)。

6.(1)n=1時(shí),a1=S1=2。

所以an=Sn-Sn-1=2n(n≥2)。

所以數(shù)列an{}的通項(xiàng)公式為an=2n。

7.(1)由題意得3an-2Sn-1=0 ①,則3an+1-2Sn+1-1=0 ②,②-①得an+1=3an,所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列。

由3a1-2S1-1=0得a1=1,an=3n-1。

(2)由(1)知3an-2Sn-1=0,所以bn=

所以

所以。當(dāng)且僅當(dāng)n=,即n=4時(shí)等號(hào)成立,所以f(n)=maxf(4)=。

8.(1)因?yàn)閍n+1-2an=0,即an+1=2an,所以數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列。

因?yàn)閍3+2是a2,a4的等差中項(xiàng),所以a2+a4=2a3+4,則2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2。

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n。

(2)由(1)及bn=-anlog2an,得bn=-n·2n。由Sn=b1+b2+…+bn,得Sn=-2-2·22-3·23-4·24-n·2n①。

所以2Sn=-22-2·23-3·24-4·25-(n-1)·2n-n·2n+1②。

②-①得Sn=2+22+23+24+…+·2n+1=(1-n)·2n+1-2。

要使Sn+n·2n+1＞62成立,只需2n+1-2＞62成立,即2n+1＞64,得n＞5。

所以使Sn+n·2n+1＞62成立的正整數(shù)n的最小值為6。

9.(1)依題意,當(dāng)n=1時(shí),2S1=2a1=4+λ;

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1。

因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,所以λ=-2,a1=1,公比q=2。故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1(n∈N*)。

(2)依題意得log4(anan+1)=log4(2n-1·2n)=(2n-1)。

故

記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,故Tn=