三角函數精選9題

■本刊編輯部

1.已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,a=2,且

(1)求角A;

(2)求△ABC面積的最大值。

2.已知函數f(x)=sin2x+2sinxcosx

(1)求f(x)的最小正周期和單調增區間;

(2)若x=(0 ≤≤)為f(x)的一個零點,求cos2x0的值。

3.設函數

(1)求函數f(x)的最大值和最小值;

(2)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=3,f()=,若sinB=2sinA,求△ABC的面積。

4.已知函數f(x)=sinx·cos(x -)+cos2x-。

(1)求函數f(x)的最大值,并寫出f(x)取最大值時x的取值集合;

(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(A)=,b+c=3,求a的最小值。

5.在 △ABC 中,已 知·=9,sinB=sinCcosA,且△ABC的面積為6。

(1)求△ABC的三邊長;

(2)若D為BC邊上的一點,且CD=1,求tan∠BAD。

6.已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,AD,AE分別是BC邊上的高線和中線,且b(tanA+tanB)=2ctanB。

(1)求角A的大小;

(2)若AE=4,AD=6,求△ABC的面積。

圖1

7.如圖1,D是△ABC內一點,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足∠D=2∠B,cosD=-,AD=2,△ACD的面積是42。

(1)求線段AC的長;

(2)若BC=43,求線段AB的長。

8.在△ABC中,已知角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

(1)求角C的大小;

(2)在BC邊上取一點M,若BM=2MC,且AM=AB,求cos∠BAC的值。

9.已知f(x)=sinxcosx+cos2x。

(1)求函數f(x)的單調遞增區間;

(2)已知銳角△ABC的三個角A,B,C所對應的邊為a,b,c,且f(C)=1,求的取值范圍。

參考答案

1.(1)根據正弦定理,由即2a-2b+ab-b2=c2-bc,又因為a=2,所以b2+c2-4=bc。

根據余弦定理cosA=

(2)由(1)可知bc=b2+c2-4≥2bc-4,當且僅當b=c=2時取等號,所以bc≤4。

所以3,所以△ABC面積的最大值為3。

2.(1)f(x)=sin2x+2sinxcosx+sin(x +)sin(x -)=sin2x+3sin2x+(sinx+cosx)(sinx-cosx)=+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x+=2sin(2x -)+。

f(x)的最小正周期為π,2kx-≤2x-≤2kπ+,則kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,f(x)的遞增區間是

(2)f(x0)=2sin=0,則因為0≤x≤,-≤2x-≤,00即-≤-≤0,所以cos-)=。cos2x0=cos(2x0-+)=

3.(1)f(x)=+cos2x=cos2x+。所以,當cos2x=1時,函數取得最大值1;當cos2x=-1時,函數取得最小值0。

(2)因為f()=,所以cosC+=,得cosC=-。

又C∈(0,π),所以C=。

因為sinB=2sinA,所以b=2a。

因為c=3,所以9=a2+4a2-2a×2a×cos,整理得a2=。

所以S△ABC=absinC=a2sinC=

所以函數f(x)的最大值為。

當f(x)取最大值時,sin(2x +)=1。

所以2x+=2kπ+(k∈Z),解得x=kπ+,k∈Z。故x的取值集合為

(2)由題意得f(A)=·sin(2 A +)+=,化簡得sin(2 A +)=。

因為A∈(0,π),所以2A+∈,所以2A+=,所以A=。

在△ABC中,根據余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc。

由b+c=3,知,即a2≥。所以,當b=c=時,取最小值。

5.(1)設三邊分別為a,b,c,由sinB=sinCcosA可得cosC=0?C=。

又兩式相除可得tanA==。

令a=4k,b=3k(k＞0),則S=ab=6?k=1。

故三邊長分別為3,4,5。

(2)由兩角差的正切公式可得tan∠BAD=。

6.(1)因為b(tanA+tanB)=2ctanB,所以sinB(tanA+tanB)=2sinCtanB,即,即=2sinC·因為sinB≠0,所以sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA。因為sin(A+B)=sinC≠0,所以cosA=。又A∈(0,π),所以A=。

(2)因為E是BC的中點,所以=),所以c2+b2+bc=64 ①。

因為S=AD·BC=AB·AC·sin∠CAB,所以bc=22a ②。

根據余弦定理,有a2=b2+c2-bc ③。

聯立①②③,得=64-2bc,解得bc=16(bc=-32 舍 去)。故 S△ABC=bcsin∠CAB=4。

7.(1)由cosD=-,得sin

因為AD×CD×sinD=42,所以CD=6。在△ACD中,由余弦定理知AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=48,所以AC=4。

(2)因為cosD=cos2B=1-2sin2B=-,所以sinB=±(負值舍去)。

在△ABC中,AC=BC,由正弦定理得=,所以AB=8。

8.(1)由=1,得a2+b2-c2=ab,cosC=,C=。

(2)取BM的中點D,因為AM=AB,則AD⊥BC,不妨設MC=x,則BC=3x,AC=4x,AD=2x,AB=x。故

9.(1)化簡得f(x)=sin2x+(1+cos2x)=+sin(2x +)。

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,可得kπ-≤x≤kπ+。

故函數f(x)的單調遞增區間為[kπ-,kπ+],k∈Z。

(2)因為f(C)=+sin(2C +)=1,所以或2C+=2kπ+,k∈Z。

由三角形內角的范圍可知C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,所以

因為△ABC 為銳角三角形,所以

由正弦定理得,所以[4-1,8)。