關于多元函數條件極值充分性條件的探討

歐陽夢倩 衡陽師范學院

1 引言

在某些實際問題中，考察目標函數：

它的變元需滿足一定約束條件：

我們需要尋找目標函數（1）在約束條件（2）下的極值，這樣的問題稱為條件極值。處理條件極值的基本方法為拉格朗日乘數法：首先，構造一個含p個待定乘數的輔助函數

2 極值的充分條件

2.1 約束條件可化為顯式方程

假設（1）和（2）中的函數都連續可微，并滿足正則條件：

可以從（2）中解出

將（5）代入（1）得：

于是，所討論得條件極值問題就化成了求目標函數（6）的無條件極值問題。

例1：在已知周長為2p的一切三角形中，求出面積最大的三角形。

考察目標函數

和約束條件

容易得出

則問題轉化成無條件極值：

由

2.2 將約束條件看作隱函數

2.3 利用海塞（Hasse）矩陣判別

解：設拉格朗日函數為：

所求穩定點為極小值點，且為最小值點。

判別方法二：由海塞矩陣：

為正定矩陣知穩定點即為極小值點，且為最小值點。

3 總結

拉格朗日乘數法是求多元函數條件極值一種常用的方法，利用其求出穩定點后，如何確定穩定點為極值點，應視具體問題而定。