針對AR模型討論AIC準則定階是否高于真實階數
2018-08-10 19:10:16苑成艷
神州·上旬刊 2018年8期
苑成艷
摘要：時間序列建模過程中，確定了時間序列適合的模型類型之后，對模型階數的確定是必不可少的。常見的模型定階的的方法有：殘差平方和法，自相關和偏相關函數法，F檢驗法，AIC準則和BIC準則。在實際模型定階時，采用自相關函數和偏自相關函數拖尾或結尾來確定模型階數，計算得到的自相關函數或偏自相關函數都是估計值，與理論上的真值之間存在一定誤差；而且自相關和偏自相關函數法只適用于AR（p）和MA（q）模型定階，對用ARMA模型來說，這種方法是不可行的。F檢驗法的前提是兩個模型中有一個是適用的，若兩個模型適用性都未知，則F檢驗法來檢驗低階模型是毫無意義的。為了給模型更準確定階，采用AIC準則、BIC準則定階，利用似然函數估計值的最大原則來確定合適的模型階數。但AIC準則定階可能會出現高估真實階數的情況，下面我們針對AR模型通過AIC定階與BIC定階對比來討論是否AIC定階真的高于真實階數。
關鍵詞：AIC準則；BIC準則；AR模型；時間序列
1 AP（p）模型的定階
1.1 AIC定階
1973年日本學者赤池（Akaike）提出了AIC準則，適用于ARMA（包括AR和MA）模型的定階問題。設觀測數據序列
為零均值平穩序列，其中一組樣本數據為
，設L為擬合模型的最高階數，AR模型階數為k，下面是AIC模型AIC定階步驟：（1）計算樣本的自協方差函數
和樣本的自相關函數
；（2）利用遞推算法計算相關函數
；（3）
是AR（k）的白噪聲方差。
所以AIC準則函數為：
。AIC（k）最小值點
成為AR（k）模型的AIC定階。
1.2 BIC定階
針對AR（p）模型可以證明出當樣本數據N充分大時，用AIC定階往往并不是相合的，就是說，當數據來自AP（p）模型時，
并不依概率收斂到真實的階數。有研究指出AIC定階通常會對階數略有高估。為了克服這一問題，舒瓦茲（Schwarz）提出另一個與AIC準則類似的準則函數BIC準則。BIC準則函數定義如下：
我們稱BIC（k）中第一個最小值點
成為AP（p）模型的BIC定階。已知AR（k）模型
是白噪聲方差，可證明BIC定階是強相合的。
2 AIC定階和BIC定階準確性對比
針對平穩的AR模型分別用AIC準則和BIC準則定階。我們將確定的AR模型進行AIC和BIC定階，通過兩個準則定階的正確率以及高估率和低估率探究，從而得到AIC準則定階是否高于真實階數的真正結果。這里我們假設用AR（2）模型進行試驗討論，討論結果如下，AR（2）模型：
其中
是白噪聲序列。
首先利用SAS軟件循環程序生成500個數據，再用SAS程序對這些觀測數據模擬計算獨立重復1000次，每次生成的數據是不同的，即每次使用不同的500個觀測值。得到AIC和BIC階數情況如下：
表1：500個觀測值AIC、BIC定階所定階數的次數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AIC定階
97
675
54
108
24
21
8
5
6
1
BIC定階
550
447
7
4
2
0
0
0
0
0
上表數據表示，用某一種定階方式（AIC或BIC），在1000次模擬計算中階數定為
（
=1，2，…，10）的有多少次，其中675表示在1000次模擬計算中AIC將階數定為4的由675次，447表示在1000次模擬計算中BIC將階數定為4的由447次。通過得到的階數情況分析，AIC定階對階數低估的比率是9.7%，對階數高估的比率是22.7%；BIC定階對階數低估的比率是55%，對階數高估的比率是1.4%。AIC定的平均階數是2.447，高于BIC定的階數1.497。
我們再次利用SAS程序生成更多數據，這里我們生成了2000個數據，在對模型進行1000次模擬計算。得到如下結果：
表2：1000個觀測值AIC、BIC定階所定階數的次數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AIC定階
0
739
114
42
32
25
12
18
11
7
BIC定階
7
991
2
1
0
0
0
0
0
0
通過表格的階數情況分析，AIC定階對階數低估的比率是0%，對階數高估的比率是26.1%；BIC定階對階數低估的比率是0.7%，對階數高估的比率是0.3%。AIC定的平均階數是2.695，高于BIC定的階數1.999。
由上面計算實驗，確實存在AIC定階高于BIC現象，但是我們看到，當樣本數據不是很大時，BIC 定階會出現低估階數的現象，造成模型較大失真。而AIC定階更接近真實階數。在N很大的情況下，BIC對模型的定階會更準確。因此，我們在進行模型定階時，要根據實際觀測數據多少來判斷用AIC準則還是BIC準則。
參考文獻：
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