淺析三次函數的圖像

摘要：本文主要論述了高中新課標選修教材中導數一章中利用導數研究三次函數單調性極值的過程。

關鍵詞：三次函數；導函數；單調性；極值；圖像

導數及其應用是高中數學重要內容。教材指出如果在某個區間內，都有導函數f′（x）>0，則在這個區間上，函數y=f（x）是增加的；如果在某個區間內，都有導函數f′（x）<0，則在這個區間上，函數y=f（x）是減少的。在包含x0的一個區間（a，b）內，函數y=f（x）在任何一點的函數值都小于或等于（大于或等于）x0點的函數值，則稱點x0為函數y=f（x）的極大（小）值點，其函數值f（x0）為函數的極大（小）值。這里筆者結合自身的教學經驗，利用導數工具對三次函數的圖像做簡單研究，歸納總結三次函數圖像的幾種情況及圖像的簡單應用。

設任意一個三次函數為y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），易知其定義域為R，其導函數為f′（x）=3ax2+2bx+c是一個二次函數，對應的方程為3ax2+2bx+c=0，對應的判別式為Δ=4b2-12ac。

1. 當a>0時，對應的導函數為開口朝上的二次函數。

（1）若Δ>0，則方程f′（x）=0有兩個不同的實根，不妨設兩個實根分別為x1，x2且x1

x∈（-∞，x1）時，f′（x）>0，f（x）單調遞增；

x∈（x1，x2）時，f′（x）<0，f（x）單調遞減；x1為極大值點；

x∈（x2，+∞）時，f′（x）>0，f（x）單調遞增；x2為極小值點；

當x的取值很大，即x→+∞時y→+∞，當x的取值很小，即x→-∞時y→-∞。

故函數的值域為R。這時三次函數的圖像如圖（1）

先增后減再增（圖1）

（2）若Δ≤0則方程f′（x）=0有重根或者無實根，則導函數f′（x）≥0在R上恒成立且只在二次函數的頂點處等于0，易知f（x）為R上的增函數，值域為R。這時三次函數的圖像如圖（2）

遞增（圖2）

當a>0時，函數圖像先增后減再增或在R上遞增。

2. 當a<0時，對應的導函數為開口朝下的二次函數。

（1）若Δ>0則方程f′（x）=0有兩個不同的實根，不妨設兩個實根分別為x1，x2且x1

x∈（x1，x2）時，f′（x）>0，f（x）單調遞增；x1為極小值點；

x∈（x2，+∞）時，f′（x）<0，f（x）單調遞減；x2為極小值點；

當x的取值很大，即x→+∞時y→-∞，當x的取值很小，即x→-∞時y→+∞。

故函數的值域為R。這時三次函數的圖像如圖（3） ：

先減后增再減（圖3）

（2）若Δ≤0則方程f′（x）=0有重根或者無實根，則導函數f′（x）≤0在R上恒成立且只在二次函數的頂點處等于0，易知f（x）為R上的減函數，值域為R。這時三次函數的圖像如圖（4） ：

遞減（圖4）

當a<0時函數圖像先減后增再減或在R上遞減。

我們借助導數的工具對三次函數的圖像和性質進行了研究：根據三次系數的正負與導函數判別式的符號來確定函數在R上的單調性，或增，或減，或先增再減再增，或先減再增再減。再結合極值的情況就可以確定零點的分布，可能一個零點，可能兩個零點，也可能三個零點。

【例1】函數f（x）=ax3+bx2+cx的圖像如圖所示，且 f（x）在x=x0處與x=2處取的極值，則f（1）+f（-1）的值一定（）

A. 等于0

B. 大于0

C. 小于0

D. 小于或等于0

解析：由該三次函數圖像“先增再減再增”可知a>0，f′（x）=3ax2+2bx+c，由題意x0+2=-2b3a>0故b>0。而又f（1）+f（-1）=2b，所以f（1）+f（-1）>0故選B。

【例2】函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖所示，則下列結論成立的是（）

A. a>0，b<0，c>0，d>0

B. a>0，b<0，c<0，d>0

C. a<0，b<0，c>0，d>0

D. a>0，b>0，c>0，d<0

解析：由該三次函數圖像“先增再減再增”可知a>0，f′（x）=3ax2+2bx+c的兩個零點為正數，故x1+x2=-2b3a>0，x1·x2=c3a>0。故 b<0，c>0，再由圖像可知f（0）=d>0。綜上，正確選項為A。

點評：由三次函數的單調性或增，或減，或先增再減再增，或先減再增再減以及極值情況可以判斷出系數a，b，c的符號，從而解決與系數的相關問題。

作者簡介：

石群英，陜西省漢中市，漢中中學。