雙根號函數值域求法初探

余永成

（重慶市墊江第三中學校，重慶）

函數思想是高中四大數學思想之一，函數的教學貫穿著整個高中數學，其中求函數的值域既是重點，也是難點，而對于這種類型的函數因為它有兩個根號，且這類函數的值域求法比較靈活，涉及的知識點比較多，知識的跨度大，幾乎涵蓋了高中三個年級的知識，所以很多學生感到無從下手，甚至望而止步。

一、求導函數法

x 4 （4，17 4） 174（174，5） 5 y 3■↗2↘1

由其單調性可知，其值域為［1，2］。

二、換元法

換元的目的是為了簡化運算，換元時應注意新元的取值范圍。

1.普通換元，轉化成橢圓方程，然后用線性規劃求解

2.普通換元，轉化成橢圓方程，然后用橢圓的參數方程求值域

3.普通換元，轉化成圓的方程，然后用線性規劃求解

4.普通換元，轉化成圓的方程，然后用圓的參數方程求值域

5.三角換元，然后用輔助角公式求值域

用換元法求解此題的值域，換元方式比較靈活，且涉及橢圓方程、橢圓的參數方程、圓的方程、圓的參數方程、線性規劃、輔助角公式等眾多的知識點，知識的跨度也較大，對于拓寬學生的視野、發散學生的思維有很好的作用.

三、向量法

作為一種工具平面向量不僅在平面幾何、立體幾何中、解析幾何中有著廣泛的應用，而且在代數運算中也有一定的應用。此題可以用向量的數量積求解。

四、構造對偶式

又因為y2+k2=4，所以k2=4-y2

由※得 0≤4-y2≤3 從而得 1≤y2≤4，又因為 y≥0，所以 y∈［1，2］.

構造對偶式，屬于數學技巧，更多地依賴解題者的數學經驗的積累，此處構造對偶式時，不僅要求兩個根式的系數要輪換，而且還要求由和式變成差式，技巧性較強，但見多就會識廣，以后遇到此類題就會信手拈來。

此例中，求導函數的方法是萬能的方法，而換元法和向量法實際體現了高中數學的另一種重要的思想——等價轉化思想，而除了求導方法以外，其他方法都要求學生對基礎知識有牢固的掌握，有較強的基本功且能融會貫通的運用，這一個例題將導數、橢圓、圓、線性規劃、參數方程、向量、動點軌跡等知識點進行了有機結合，適合高三第二輪復習使用。