數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用

張立娟

（吉林省榆樹市第一高級中學，吉林 榆樹）

數(shù)學學科的一個本質(zhì)特征就是數(shù)形結(jié)合，其依據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建與之適應的幾何圖形，同時借助圖形的特征與規(guī)律解決數(shù)的問題；或者將圖形信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息，從而將圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系進行討論。高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合思想的合理應用，綜合了形象直觀、便于理解的幾何圖形和程序化、一般性、可操作性的代數(shù)方法，能夠幫助學生更好地學習、理解相關(guān)數(shù)學知識，從而不斷提升數(shù)學能力水平。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與應用原則

1.涵義

數(shù)和形是高中數(shù)學中的兩個非常重要的元素，數(shù)就是指數(shù)量關(guān)系，形就是指空間圖像。數(shù)形結(jié)合就是數(shù)量關(guān)系和幾何圖像之間轉(zhuǎn)化，有機結(jié)合抽象與形象思維，從而利用形象化的圖像解決抽象化的問題，實現(xiàn)高中數(shù)學學習的飛躍，并有效提升學生的解題能力。

2.應用原則

以幾何圖形分析代數(shù)抽象性與以代數(shù)語言避免幾何直觀約束性的雙向性原則，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢；數(shù)形轉(zhuǎn)換過程中，代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)應保持等價性原則；高中數(shù)學的實際教學過程中，教師應堅持以知識為載體，恰當應用數(shù)形結(jié)合思想，堅持滲透性原則；此外，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用應嚴格遵循學生參與的原則，教師應為學生提供合理的學習時機、素材與平臺，為其營造和諧的學習氛圍，引導其參與知識的發(fā)生與發(fā)展過程，增強高中數(shù)學教學效果。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用

在應用數(shù)形結(jié)合思想分析、解決高中數(shù)學問題的過程中，首先應引導學生明白一些概念、運算的結(jié)合意義、曲線的代數(shù)特征等；同時，參數(shù)設置應恰當、合理應用，正確建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；此外，參數(shù)的取值范圍應正確設定，“數(shù)”與“形”應很好地結(jié)合，便于求解。

1.注重數(shù)形之間的轉(zhuǎn)換，將抽象的數(shù)學知識變得具體化

相比于數(shù)學語言，圖形更具強大的形象性、直觀性，所以，高中數(shù)學教師可合理借助數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的代數(shù)難題轉(zhuǎn)換成圖形的形式，從而吸引學生的注意力，充分調(diào)動其思維，幫助其獲取明確的解題思路，不斷提升解題能力。

圖1

當k值＜-1時，兩個函數(shù)不相交，所以原方程無解；當k值=-1時，函數(shù)在圖中顯示兩個交點，所以原方程有2個解；當k值處于-1～0之間時，函數(shù)在圖中顯現(xiàn)四個交點，原方程有4個解；當k=0時，函數(shù)在圖中顯現(xiàn)三個交點，原方程有3個解；k值＞0時，函數(shù)在圖中顯現(xiàn)兩個交點，原方程有2個解。

應用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)交點個數(shù)或求解方程等問題，能夠借助直觀的圖形鍛煉學生的觀察能力，有利于啟發(fā)學生的解題思路，進而拓展其思維空間，提升其數(shù)學解題與思考的能力。

2.“數(shù)”與“形”的結(jié)合在高中數(shù)學教學中的應用

事實上，在高中數(shù)學的教學過程中，無論是以“數(shù)”解題還是以“形”解題都是有一定缺陷的，但二者又是相輔相成的。因此，高數(shù)的很多問題都需要充分結(jié)合數(shù)、形的優(yōu)勢，共同運用以解決數(shù)學問題。如：一些靜態(tài)函數(shù)問題可以借助坐標系-圖像進行動態(tài)表達與闡述，圖像能夠彌補函數(shù)形象性、直觀性不足的缺點，如直線圖、圓錐曲線圖形等能夠?qū)σ恍┐鷶?shù)的變化進行充分表達；而精準計算的函數(shù)解析式又增強了圖像的精準性。二者的有機結(jié)合，能夠有效解決高中數(shù)學中的一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等問題。

例如：圓（x-2）2+y2=3上存在一個任意點 M（x，y），求取（x-y）的最小值與最大值。在解析的過程中，就可以假設x-y=b，將直線方程轉(zhuǎn)換為y=x-b。當圓與直線相切時，即為直線y=x-b在y軸的截距，如圖所示。這時，b1為最小值，b2為最大值。

圖2

綜上所述，作為一門具有較強理論性與邏輯性的學科，高中數(shù)學對學生來說具有較大的難度。因此，教師應合理滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導學生有機結(jié)合數(shù)與形，更好地解決相關(guān)數(shù)學問題，不斷提升數(shù)學思維水平與能力。