試析中考數(shù)學綜合題常見類型

翁為科

（深圳市羅湖高級中學初中部，廣東 深圳）

中考數(shù)學中習題開放性主要是指，條件不完善，結(jié)論沒有明確同時也不唯一，解法沒有嚴格限制，這樣在解題中學生便留有充分的認知空間。題目在解題中充分體現(xiàn)了創(chuàng)新精神，因此在中考中比例持續(xù)加大，現(xiàn)在要求教師對這些開放性習題的類型以及解題策略進行分析研究，引導學生通過分析、比較、猜想等多種思維方式進行探究。

一、中考中的常見數(shù)、式題型

為了使學生對中考題目有系統(tǒng)認識，一定要針對性地對常見題型剖析，不斷深化感性認識。

計算類習題，數(shù)和式綜合使用。

在此種題目中要先進行簡化，之后求值。

此類計算題，主要是為了考查學生數(shù)字和式子之間綜合運算能力，在很多地方中考中都有出現(xiàn)。此類習題為基礎(chǔ)性題目，在計算中重視不夠，便經(jīng)常會出現(xiàn)各種錯誤；同時涵蓋知識點較多，學生學到的各種數(shù)字和式子都有涉及，有任何問題沒有考慮到便會失分。做此種類型題目一定要保證：第一，記熟特殊角三角函數(shù)值，同時要掌握好負指數(shù)冪以及整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、平方根、絕對值、實數(shù)在運算中的順序以及運算法則；第二，掌握好整式加減、乘除、因式分解和通分、約分以及分式之間的乘除運算。在分式化簡中一定要重視x值是否能夠確保分式有意義。

二、中考中的方程以及不等式組、函數(shù)綜合問題

例題：為了在長假高峰購物做好準備，運動服裝品牌店主要采購兩類服裝，分別為甲類、乙類。兩種貨物的購買價格和出售價格如下。

運動服裝價格 甲 乙類進價（元/件） m m-20售價（元/件） 240 160

購貨時，貨款中3000元購買甲類服裝的件數(shù)和2400元購買乙類服裝數(shù)量一樣。

（1）得到m值。

（2）購買甲類和乙類服裝中，200件總利潤一定在21700元之上，同時低于22300元，現(xiàn)在分析在專賣店內(nèi)一共有哪幾種進貨方式？

（3）在第二條條件中，專賣店要對甲種服裝進行優(yōu)惠促銷，同時決定對甲類服裝進行優(yōu)惠a（50＜a＜70）元，乙類服裝售價不變。現(xiàn)在分析專賣店中要想得到最大利潤要使用哪種進貨方式？

解：（1）根據(jù)題意可以看出3000/m=2400/m-20，可以得到m=100，在驗證之后可以得到m=100為方程解，因此可以得到m=100。

（2）進購甲類服裝x件，乙類服裝一共（200-x）件，從題意可以看出。

（240-100）x+（160-80）（200-x）≥21700，①

（240-100）x+（160-80）（200-x）≤22300，②

可以得到95≤x≤105。∵x為整數(shù)，105-95+1=11，∴會有11種方案。

（3）設(shè)總利潤為 w，w=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105）。

①中 50＜a＜60 時，60-a＞0，其中 w 隨著 x變大同時變大。專賣店在x=105時可以發(fā)現(xiàn)，w中有最大值。因此可以得知，購買甲種服裝105件時，購買乙種衣服為95件。

②在a=60時可以看出，60-a=0，w=16000，可以看出兩種方案獲利都相同。

③在60＜a＜70中，60-a＜0，同時w會隨著x的變大不斷減小，在x=95時w一定有最大值。因此可以購買甲種服裝95件，乙種服裝105件。

這種類型的題為分式方程、一元一次不等式組、一次函數(shù)。處理這些問題的關(guān)鍵點在于讀懂題意，同時找出描述性詞語，列出所求的不等關(guān)系以及等量關(guān)系。處理第三問時不僅要將其中的實際問題“利潤”轉(zhuǎn)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，同時也要充分結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)，依據(jù)一次函數(shù)狀況進行分類研究。方程和函數(shù)之間相互結(jié)合的綜合題，也是考試重點[1]。函數(shù)和方程雖然為不同的數(shù)學概念，但是相互關(guān)聯(lián)和滲透，很多方程問題都可以使用函數(shù)進行處理，同時也可以使用方程處理函數(shù)問題。這些問題關(guān)鍵要重視變化和聯(lián)系，可以分析抽象的數(shù)量特征，實現(xiàn)函數(shù)和方程之間的相互裝換，從而起到解決問題的作用。

三、統(tǒng)計和概率綜合

在統(tǒng)計類題中考點主要有抽查、全面調(diào)查，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，這些主要是反映了數(shù)據(jù)集中性，考試中要考查學生在各種背景中使用各種數(shù)代表每種數(shù)據(jù)，或者統(tǒng)計圖找出數(shù)中特征、極差以及方差，兩者主要是反映數(shù)據(jù)之間的波動，描述穩(wěn)定性，在對兩組數(shù)據(jù)進行比較時一般會先觀察平均數(shù)，之后才會使用方差。

例題：在方格中，A、B、C、D、E、F都處在正方形頂點。（1）A、D、E、F四點中任意選擇一點，選擇的點主要以B、C作為頂點畫出三角形，求得到等腰三角形的概率。

（2）從 A、D、E、F這四點中任意取兩個點，取得點和 B、C 作為頂點畫出四邊形，計算出可以得到平行四邊形的概率（樹狀圖、列表求解）。

在題中不僅要考查學生使用樹狀圖、列表計算出所有可以得到平行四邊形的概率，同時也要使用概率對等腰三角形進行評判，所考核的知識點綜合性強。在解決這些問題時，不僅自己要學會畫樹狀圖列表得到各種結(jié)果和概率，同時也要掌握圖形性質(zhì)判定知識。

四、二次函數(shù)中的綜合問題

二次函數(shù)主要是探討具體問題中的數(shù)量變化以及在此規(guī)律上的抽象數(shù)學概念，同時也是研究現(xiàn)實世界規(guī)律的模型。二次函數(shù)中的重要思想便是用運動觀點分析和解決問題[2]。在命題上主要圍繞新課標，為了考查學生分析和處理實際問題的能力，確定好二次函數(shù)中的表達方法，充分理解函數(shù)特征。使用好描點畫法做出二次函數(shù)圖象，在圖象中看到函數(shù)性質(zhì)，使用配方、公式等各種方式確定函數(shù)圖象開口方向以及頂點，使用這種方式得到一元二次方程近似解。

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如下圖，且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數(shù)根，有下列結(jié)論：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2。其中，正確結(jié)論的個數(shù)是 （ ）

A.0 B.1 悅.2 D.3

①二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞0，故①正確；

②∵拋物線的開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c＞0，

∵ 對稱軸 x=b/2a＞0，

∴ab＜0，

∵a＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故②正確；

②一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數(shù)根，

∴y=ax2+bx+c和y=m沒有交點，

由圖可得，m＞2，故③正確。

故選：D。

五、閱讀以及新定義有關(guān)的綜合型題目

這些題在以后的數(shù)學考試中會逐漸增加，同時考試的很多知識并不屬初中數(shù)學，更多的是重視初中和高中知識之間的銜接。很多題目都是高中數(shù)學知識，或者有一些跨學科的知識。這些主要是考查學生理解能力、閱讀能力、使用新知識能力。處理這些問題關(guān)鍵在于認真閱讀，同時要理解題目，認識到題目中的新公式、新定義，同時使用這種方式解決和處理相關(guān)問題。

例題：在實數(shù)中，規(guī)定［x］為不大于 x的整數(shù)，有［1.2］=1，［4］=4，［-2.6］=-3，假如現(xiàn)在分析x可以為多少 （ ）

A.41 B.43 悅.51 D.57

解析：從定義中我們可以看出，［x］主要為小于等于x的最大整數(shù)。同時結(jié)合例題可以看出要想滿足可以得到46≤x＜56，因此可以選擇第三項。

數(shù)學綜合題中不僅有這些題，也會有各種變換類型的[3]。但是不論是何種綜合題，不僅要對方法進行考查同時也重視綜合能力。在學習中一定要抓住知識的關(guān)聯(lián)，掌握好數(shù)學思想和方式。只有通過這種方式才可以靈活使用、分析問題、觀察問題，解好綜合問題。