一道幾何證明題的方法與研究

牛 鑫

（遼寧省大連市第七十六中學(xué)，遼寧 大連）

初中幾何是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。學(xué)好幾何不僅對(duì)于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有極大的幫助，而且對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也有一定影響。幾何學(xué)更能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維及抽象思維能力。但多數(shù)同學(xué)感覺(jué)證明幾何題時(shí)沒(méi)有思路，特別是對(duì)一些需要添加輔助線的幾何題感到無(wú)從下手，因而失去了學(xué)習(xí)幾何的信心。因此教給學(xué)生解題思路和解題技巧是幫助學(xué)生提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的關(guān)鍵。下面就以一道2014遼寧大連一模幾何證明題的某一問(wèn)來(lái)探究如何分析幾何證明題，采用構(gòu)造法解決幾何證明題。

問(wèn)題：（2014遼寧大連一模）如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD和AD的延長(zhǎng)線上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE.

（1）求證：∠AFB與∠BAC互補(bǔ)

（2）圖1中是否存在與AF相等的線段？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明，若不存在，說(shuō)明理由。

圖1

探究?jī)蓷l線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般都需要通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來(lái)實(shí)現(xiàn)。如何添加輔助線，利用已有的邊和角去構(gòu)造出全等的三角形，以及怎樣證明兩個(gè)角相等，這些幾何問(wèn)題的證明思路學(xué)生比較陌生，解決這些問(wèn)題的方法都需要逐步在課堂滲透，引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟，并將學(xué)會(huì)的方法進(jìn)行遷移。

多種解法，一個(gè)思想

【證法 1】（1）如圖 2，∵BF∥CE，∴∠AFB=∠CEF

∵∠CEF與∠AEC互補(bǔ)，∠AEC=∠BAC，

∴∠CEF與∠BAC互補(bǔ).∴∠AFB與∠BAC互補(bǔ)

（2）存在，CE=AF.

圖2

如圖2，在AF上取一點(diǎn)G，使AG=BF

∵∠AFB+∠BAC=180°=∠AFB+（∠BAF+∠CAF），

∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°，

∴∠ABF=∠CAF

又 ∵AB=AC，∴△ABF≌△CAG

∴AF=CG，∠AFB=∠CGA

又 ∵∠AFB=∠CEF，∴∠CGA=∠CEF.

∴CE=CG.∴CE=AF.

【點(diǎn)評(píng)】證明線段CE與AF相等，可以轉(zhuǎn)化為證明包含CE邊的三角形與△ABF全等，通過(guò)挖掘已知條件，發(fā)現(xiàn)∠ABF=∠CAF，又AB=AC，這時(shí)還缺一個(gè)條件，于是從SAS（邊角邊）證明三角形全等切入，在AF上截取AG=BF。從一條對(duì)應(yīng)邊相等，一組對(duì)應(yīng)角相等入手，再構(gòu)造一組對(duì)應(yīng)邊相等，這樣便可構(gòu)造出一對(duì)三角形全等。

下面在該題的其余解法中選擇兩種供參考。

圖3

圖4

【證法2】如圖3，構(gòu)造與△ABF全等的三角形。在AF上取一點(diǎn) G，使得 CG=CA，則 CG=BA，∠CGA=∠CAG，而∠GAC=∠ABF，所以∠CGA=∠ABF，又 BF∥CE，則∠BFA=∠CEG，從而△ABF≌△CEG，所以CE=AF。此方法的關(guān)鍵是通過(guò)作等腰構(gòu)造出與∠CAG相等的角。

【證法3】如圖4，我們也可以構(gòu)造與△ACE全等的三角形。根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，則∠AFG=∠AEC。可以考慮從這對(duì)角相等入手，還需要引入一條輔助線，既能帶來(lái)邊相等也能帶來(lái)角相等，于是在BF的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得AG=AB，即構(gòu)造等腰三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)。

我們發(fā)現(xiàn)遇到兩個(gè)角互補(bǔ)的問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)造已知邊的等腰也可構(gòu)造求證邊的等腰，從而為證明三角形全等作準(zhǔn)備。在作輔助線的過(guò)程中，注意不要破壞題目中原有的條件。

構(gòu)造思想是數(shù)學(xué)思想的一種思考方式，而構(gòu)造法是數(shù)學(xué)方法中的一種。構(gòu)造性的思想決定了如何構(gòu)造，怎么構(gòu)造，構(gòu)造后怎么解決等問(wèn)題。構(gòu)造法是根據(jù)原問(wèn)題的條件和結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行分析觀察，然后通過(guò)聯(lián)想原有的知識(shí)進(jìn)行遷移變換，由于每個(gè)人的知識(shí)層次不同，解題經(jīng)驗(yàn)不同，思考的方向不同，這也決定了形式也是不同的，所以構(gòu)造法的靈活性很大，一個(gè)問(wèn)題可能有多種不同的構(gòu)造方式。

通過(guò)上面的分析可以知道，在探究?jī)蓷l線段之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以從一邊一角即一組邊對(duì)應(yīng)相等，一組角對(duì)應(yīng)相等，通過(guò)輔助線構(gòu)造出一個(gè)三角形與確定的另一個(gè)三角形全等。但值得注意的是，在證明角相等的問(wèn)題時(shí)，暴露出學(xué)生的不足之處，需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)推理角相等的方法，需要我們?cè)谡n堂上給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，進(jìn)一步來(lái)完善學(xué)生的幾何證明推理能力。

我們所給出的各種思路能幫助學(xué)生進(jìn)行構(gòu)造性思維的訓(xùn)練和理解，同時(shí)讓學(xué)生從本質(zhì)上理解構(gòu)造法的意義，并且在訓(xùn)練中提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。構(gòu)造法需要學(xué)生有良好的知識(shí)框架，才能建立起知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能更好地進(jìn)行構(gòu)造，所以要將所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化、有序化，經(jīng)常整理知識(shí)，分析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立良好的知識(shí)框架才能培養(yǎng)出好的構(gòu)造思想。