高等數學微課堂教學設計初探

屈娜　李應岐　劉華

摘 要 在微積分基本公式的微課堂教學設計中，引導學生通過觀察、探究、猜想等不完全歸納思想到完備的理論證明，培養了學生的數學思維能力以及創新意識。

關鍵詞 數學思維能力 微積分基本公式 幾何探究

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.05.051

Discussion on the Teaching Design of Micro Course in Higher Mathematics

——Take calculus basic formula as an example

QU Na， LI Yingqi， LIU Hua

（Rocket Force University of Engineering， Xian， Shaanxi 710025）

Abstract For the teaching design of N-L formula， through incomplete induction such as observation， inquiry and conjecture to complete proof theory， the design cultivates students' mathematical thought and consciousness of innovation.

Keywords mathematical thought； N-L formula； geometrical inquiry

0引言

微課是近幾年來出現的一種新型教學形式，以短小精悍的微型流媒體教學視頻為主要載體，針對某個知識點或教學環節而精心設計開發的一種情景化、可視化的數字化學習資源包。微積分基本公式是高等數學中的重點教學內容，適合微課的選題。傳統教學中，微積分基本公式是以積分上限函數為基礎進行學習證明的。但積分上限函數是學生接觸的一種新型的抽象函數，對其定義的理解以及導數的研究是高等數學中的難點內容，在學生的認知水平上產生了一個斷層，用難點證明重點，對學生在課堂上的學習理解來說，無疑是雪上加霜。

在引進新概念、新理論時，應盡力做到使學生在思想上有所準備，不覺突然，盡可能地看到這些內容的引進是自然的、必要的。維果斯基的“最近發展區”理論認為：學生的發展有兩種水平，一種是學生的現有水平，另一種是學生可能的發展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發展區。教學應著眼于學生的最近發展區，調動學生的積極性，發揮其潛能。基于以上考慮，貫徹“以知識為載體，培養學生的數學思維能力”的理念，為了達成教學目標，本次微課設計遵循明暗兩條線，以幾何探究為重點討論過程，收到了較好的教學效果。

1 “微積分基本公式”的教學實施

1.1 提出問題，激發學習興趣

定積分是一種特定和式的極限，其中區間的分法以及子區間 的取法均任意。由定義的可逆性，我們可通過構造和式取極限來求得定積分，比如計算，但是該方法具有明顯的局限性。為了推廣定積分的應用，必須尋求計算定積分的一般方法，在復習鞏固舊知的基礎上提出新問題。

1.2 分析問題，培養思維能力

基于建構主義及學生的最近發展區理論，任何一種理論方法的形成都與其相關概念產生的背景或者一些先驗知識有關。因此為了解決定積分的計算問題，首先回到定積分概念產生的物理背景——變速直線運動的路程，營造探究解決問題的課堂環境。

討論1（物理觀察）

假設汽車做變速直線運動，位置函數、速度函數分別為，現求汽車在內所走過的路程。該問題可啟發學生從兩個角度進行討論，過程如下：

定積分角度： 初等數學角度：

注意到兩個函數之間內在的聯系，引導學生可將結論轉化為如下形式：

（1）

（1）式說明：速度函數在區間上的積分值可以用它的一個原函數在區間上的增量來表示，為定積分的計算提供了一個新的思路。進一步在這個物理模型的啟發下，帶動學生討論：對于一般的函數，該結論是否普遍成立？注意到速度函數的連續性，引導學生將所要討論的問題用數學語言進行描述，給出本次課要解決的核心問題：

問題：假設在上連續，是在上的一個原函數，則

（2）

接下來從幾何上做進一步的探究，注意到（2）中兩個函數之間的關系，結合之前已有的知識基礎，在幾何上將問題轉化為尋找函數增量及其導函數之間的關系。

討論2（幾何探究）

目標：創設特定學習環境，在幾何上試圖建立函數增量及其導函數之間的關系。一般來講，連續函數在幾何上表示一條連續曲線（特例研究）。等式（2）右端的函數增量在幾何上表現為曲線上對應點處縱坐標的增量。提出問題：能否在幾何上建立起此增量與導函數之間關系呢？

對于曲線縱坐標的增量，學生并不陌生。學習微分概念時，微分思想中的“以直代曲”表明：該段增量可以用點處的切線上縱坐標的增量來近似。表現在代數形式上即成立如下結果：

（3）

而（3）式就是關于函數增量及導函數之間的一個關系式，事實上它也是近似計算函數增量的一個方法。但是這個關系式顯然與（2）式相差甚遠。如何解決問題呢？提示學生注意到“以直代曲”的局限性：它僅僅在局部范圍內近似的比較好。進一步提出問題：如何建立起增量和導函數之間更好的關系式呢？由近似計算的啟發，問題轉化為：如何提高這種近似計算的精度？

為了提高精度，回想在求曲邊梯形面積時采取的方法，討論過程如下：

首先：在中任意插入個分點，過每個分點做平行于軸的直線，這樣可將曲線在整個區間上縱坐標的增量分成個子區間上縱坐標的增量。

其次，在每個子區間上“以直代曲”。即在第個子區間上，用左端點處切線上縱坐標的增量來近似曲線在該區間上縱坐標的增量。

第三步，將個近似量相加，便可得到一個好的近似值。事實上，利用matlab軟件進行曲線縱坐標的逼近實驗。我們發現，隨著分點個數的增加，誤差越來越小，近似程度越來越好。當n=200時，兩者吻合得已經相當好了。

代數形式上我們得到如下關系式：

（4）

當分點給定后，注意到（4）式永遠只是近似的關系。能否得到兩者之間精確的關系呢？由逼近結果以及定積分的思想得到解決問題的思路：只需對區間無限細分。

第四步，令小區間的最大長度取極限，兩者精確關系式便可建立。而另一方面連續，（4）式右端和式的極限并不依賴于區間的分割以及子區間的任意取點，由定積分定義，它恰為在區間[]區間上的定積分，即成立下式。

（5）

通過幾何上的逐步尋找討論，得到了與求物理背景中的路程問題同樣性質的結果。在該過程中，通過一步步的引導分析，鍛煉了學生的聯系已知，探索未知，運用已學知識解決遇到新問題的能力。

討論3（理論證明）

通過物理觀察和幾何探究得到的結果，定積分的計算貌似可以轉化為求被積函數的一個原函數的增量。但該結論要嚴格成立，必須給予理論上的證明。在證明過程中，啟發學生由幾何探究得到的啟示，借助于已有知識基礎——微分中值定理進行理論證明。

1.3 解決問題，介紹數學史，融入數學思想

由上述遞進的討論過程得知，該結論是普遍成立的。介紹數學史，牛頓從運動學的角度入手，而萊布尼茨從幾何學的觀點，運用分析學的方法研究的。后人為了紀念他們的偉大成就，將此公式稱為牛頓-萊布尼茨公式。定理的重要意義在于，其一給出了求定積分的一般方法，其二建立了積分學中的定積分與微分學中原函數概念之間的關系，將微分和積分統一起來，微積分學才成為一門真正的學科。從這個意義上來說，牛頓萊布尼茨公式在微積分的發展史上起著里程碑的作用，因此也將其稱為微積分基本公式。

2 小結

微課重在設計，它更多的取決于教學設計和教師的教學智慧，麻雀雖小五臟俱全，微課的短小精悍最終必須落腳在“精”和“悍”。“精”體現在教學設計的精彩，“悍”體現在學習效果的震撼。本次微課從物理觀察、幾何探究、嚴格的理論證明三個方面對該重點內容進行了設計，不僅加深了學生對重點內容的理解，而且對于培養學生的數學思維能力收到了良好的效果。

參考文獻

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[3] 程茜.大學數學微課程設計初探[J].科教導刊，2016.21：37-38.