利用綜合除法巧解一元多項式問題

胡姣姣　程茜

摘 要 綜合除法在高等代數學習中占據非常重要的地位，數學解題中應用十分廣泛。而一元多項式的計算特別是分解因式、求根問題比較復雜難解，本文利用綜合除法簡便計算多項式函數值，對高次多項式進行有效分解，同時推廣了除式次數大于1的綜合除法的表示形式。

關鍵詞 多項式 綜合除法 有理根 因式分解

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.04.023

The Ingenious Use of Synthetic Division to Solve

the Problem of One Element Polynomial

HU Jiaojiao， CHENG Qian

（School of Mathematics and Statistics， Qinghai Normal University， Xining， Qinghai 810008）

Abstract Synthetic division plays an important role in the study of higher algebra， is widely used in solving mathematical problems. And the calculation of a polynomial factorization， especially the root problem is complicated， in this paper， the polynomial function can be easily decomposed by using the synthetic division method， and the high degree polynomial can be decomposed effectively. And at the same time， the expression of division number greater than 1 is extended.

Keywords polynomial； synthetic division； rational root； factorization

一元多項式是數學學習重要組成部分，是學生學習函數的基石；綜合除法是帶余除法的一種特殊情況，是研究多項式理論的重要工具，在多項式計算中充當有利工具，本文利用這一工具分析如何簡便快速計算多項式函數的函數值問題，且在綜合除法的基礎上結合有理根判斷法分解高次多項式；最后再對除式次數大于1的綜合除法表達式，討論其商式和余式的求法并給出簡潔的表達形式。

1 預備知識

定義1.1[1] 數環上一個文字的多項式或一元多項式指的是形式表達

這里是非負整數；都是中的數。在多項式中叫作常數項或零次項，叫作次項，叫作次項的系數。

定理1.1[1]設，，則中可找到多項式，當去除時，使，所得余式就是在處的值，即。

定理1.2[1] 設是一個整系數多項式，若有理數是的一個根，和是互素的整數，是一個整系數多項式，那么

（1） 整除的最高次項系數，而整除的常數項系數；

（2）

現介紹綜合除法。設由定理1.1得其中

商式；

余式為，則可用下表計算出商式的系數和余式：

這就是綜合除法。

2 綜合除法的應用

2.1 利用綜合除法簡便計算多項式的值

在計算高次冪多項式函數的值時，會出現運算復雜、運算量大、耗時長等特點，為簡化運算、提高效率和正確率，當題目要求求得某高次多項式函數的值時，那么可以將利用綜合除法寫成的多項式形式，余式的值即就是所求的值。

例1 ，求

解：將通過綜合除法分別寫成以為除式的形式

即；

此時得

例 2 將多項式表示成的形式

解：

所以

因而

綜合上述解題方法，可發現在求特定高次多項式值時，綜合除法不僅提高運算效率，還降低了運算量，將函多項式寫成特定函數冪的形式對解題以及理解多項式也具有非常重要的意義。

2.2 分解因式

分解因式是代數式的恒等變形，目前使用因式分解的方法中例如十字交叉法只能解決較低次冪多項式的問題，對于高次冪多項式計算仍沒有行之有效的解決辦法。此時借助定理1.2利用綜合除法可解決高次多項式求有理根的問題。

例3 求多項式的有理根

解：由題知最高項系數1的因數是？，常數項-6的因數是？；？；？；？，由定理1.3知，所有可能的有理根是？； ？；？；？。以下通過綜合除法來檢驗。

即（二重根），-1，-2，3為全部根。

本題中多項式次數較高，簡單十字交叉法不能，將因式分解，運用綜合除法可對其分解，但注意重根情形。

3 除式為高次多項式的綜合除法

將綜合除法中除式為的形式推廣為更高次的整系數多項式問題，文獻[2]中未給出余式的具體的表達式，文獻[3]雖分類詳盡，但結構太過復雜，因此為提高應用廣泛性和可操作性得到以下一般形式。

定理：設有，，且，

；

；

商式；

余式

則有；

且；

；；；且

則有下表：

定理由關系式，比較同次項系數易得。

例4 設，求除的商式和余式。

解：令；那么

根據上述一般方法公式對使用綜合除法，除式為

所以除的商式為，余式為

本題利用上面的表達式，簡捷地計算了除式為高次項的多項式運算，使問題變得簡單化。如果除式中最高項系數不為1，那么我們應該先將除式變為最高項系數為1的多項式再利用綜合除法一般形式進行計算即可。

4 結束語

本文利用綜合除法及其相關拓展解決了多項式值計算繁瑣復雜的問題；高次多項式因式分解的問題；同時給出除式為高次多項式的綜合除法的簡潔表達形式，這將多項式的各知識點連接起來，大大提高了綜合除法的實用性，為研究多項式的求根與分解等問題提供了更加有效的途徑。

參考文獻

[1] 張禾瑞.高等代數第五版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 馬建華.綜合除法在中學數學中的應用初探.都市家教，2011（2）.

[3] 范良火.多項式除法的兩個問題及若干新結果.高等數學研究，2005（8）.

[4] 馮國勇.在研究性教學法的總體思路下開展分層次教學——高職院校高等數學教學方式初探.科技信息，2008（28）.

[5] 竇永平.線性代數的教學思路（Ⅲ）——一元多項式運算理論的教學思路.發展，2009（3）.