例談“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)上的教學(xué)價(jià)值

陳菊華

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)上的一種重要思想，亦是一種實(shí)用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合思想，是指借助圖像使抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化的一種數(shù)學(xué)思想，同時(shí)，復(fù)雜的形體也可以用簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系來(lái)表示。數(shù)和形是數(shù)學(xué)這個(gè)古老學(xué)科的研究對(duì)象，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形失少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！背浞株U述了數(shù)與形的辯證關(guān)系。在解決實(shí)際問(wèn)題中，數(shù)與形的相互滲透、相互轉(zhuǎn)化，完美結(jié)合，能將抽象的語(yǔ)言與直觀的圖形聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，解釋數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，能有效開拓學(xué)生的思路，發(fā)展其數(shù)學(xué)思維，降低題目的難易程度，有效提高學(xué)生的解題能力。那么，“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中有哪些教學(xué)價(jià)值呢？

一、數(shù)形結(jié)合，把抽象的概念教學(xué)直觀化、形象化

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，簡(jiǎn)潔明了，具有高度的概括性和抽象性。當(dāng)教師進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，如果只是照本宣科、干巴巴地解釋相關(guān)內(nèi)容，由于概念的抽象和枯燥，會(huì)使得學(xué)生聽得云里霧里，似是而非，知其然而不知其所以然，事倍而功半，教學(xué)效果不盡如人意。如果教師能通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”這把思想利劍，借助直觀圖像，使教學(xué)過(guò)程形象化、直觀化，就能幫助學(xué)生在輕松愉快的氛圍中掌握相關(guān)知識(shí)。

如：一列火車21：30從廣州出發(fā)，到第二天5：30到達(dá)目的地，這列火車一共行駛了多長(zhǎng)時(shí)間？這題是在學(xué)生掌握了常用的時(shí)間單位（年、月、日、時(shí)、分、秒）及經(jīng)過(guò)時(shí)間的計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行考查的，主要考查學(xué)生對(duì)經(jīng)過(guò)時(shí)間的計(jì)算能力。由于小學(xué)生年齡較小，理解能力較弱，解決起來(lái)困難比較大，尤其是涉及分段計(jì)時(shí)的情況。這題可借助鐘表教具，讓學(xué)生喚醒回憶：鐘面上一個(gè)大格表示一個(gè)小時(shí)，21時(shí)就是時(shí)針走了一大圈又9個(gè)大格，并形象地理解0時(shí)和24時(shí)是在同一個(gè)點(diǎn)上。這時(shí)，再讓學(xué)生動(dòng)手操作，在鐘面上表示出21：30，分針指向6，時(shí)針指向9和10的中間，由于到達(dá)時(shí)間是第二天的5：30，分針指向不變，計(jì)算時(shí)針從9到下一圈的5走了多少圈就是經(jīng)過(guò)了多少小時(shí)，結(jié)合動(dòng)手實(shí)踐和鐘面的形象性，學(xué)生能非常直觀地得出答案。如果手頭沒(méi)有鐘面，我們也可以用線段圖來(lái)表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間（見圖1）。

由線段圖中我們可以清楚地看到，從21：30到24時(shí)經(jīng)過(guò)了2小時(shí)30分，再加上第二天的5小時(shí)30分，火車一共經(jīng)過(guò)了8小時(shí)，讓具體的形和抽象的數(shù)字完美結(jié)合，相輔相成。

二、數(shù)形結(jié)合，讓復(fù)雜的算理簡(jiǎn)單化、明了化

小學(xué)數(shù)學(xué)中，計(jì)算教學(xué)可謂占了大半江山，對(duì)算理的理解，有助于學(xué)生正確計(jì)算，如果連算理都不懂，試問(wèn)如何正確解題？如：一根木料，鋸成兩段，要3分鐘，如果鋸成6段需要多少分鐘？大部分學(xué)生看到這題都覺得很簡(jiǎn)單：鋸成2段要3分鐘，那么鋸1段就只要1.5分鐘，6段就只要9分鐘。那么的理所當(dāng)然，那么的理直氣壯！只有個(gè)別學(xué)生保持了清晰的頭腦，在題目下方畫了示意圖：?發(fā)現(xiàn)鋸2段只需要1次，繼續(xù)畫圖：發(fā)現(xiàn)鋸6段只要鋸5次，每次要3分鐘，5次只要15分鐘。其實(shí)本題并不難，只是相當(dāng)具有迷惑性，關(guān)鍵在于學(xué)生有無(wú)意識(shí)地畫出示意圖，若能結(jié)合示意圖，答案一目了然。這么高的錯(cuò)誤率也提醒了我，在教學(xué)中，應(yīng)以清晰的理論來(lái)指導(dǎo)學(xué)生理順?biāo)悸罚嵝褜W(xué)生遇到類似題型應(yīng)結(jié)合示意圖來(lái)理解算理，在此基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法。數(shù)形結(jié)合，就是幫助學(xué)生正確理解算理的一種很好方式。

三、數(shù)形結(jié)合，使數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)潔化、明朗化

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，往往能使一些復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明了、簡(jiǎn)潔，內(nèi)在聯(lián)系變得直觀，降低了解題的難度，能有效提高解題的效率。如：兩車同時(shí)從AB兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行駛48km，乙車每小時(shí)行駛54km，兩車在離中點(diǎn)36km處相遇，求AB兩地的距離。這是一道較為復(fù)雜的行程問(wèn)題，跟一般的行程問(wèn)題不同，這題沒(méi)有兩車相遇時(shí)的時(shí)間。學(xué)生也想到了線段圖（見下頁(yè)圖2）。

線段圖是畫出來(lái)了，卻還是不能從中獲取更多有用的信息，因?yàn)槁烦滩钸@個(gè)條件實(shí)在是隱藏得太深了。若換個(gè)思路，假設(shè)兩車是同向行駛，其他條件不變，則可以畫出以下線段圖（見圖3）。

在這個(gè)線段圖中，學(xué)生能非常容易看出乙車比甲車多走了2個(gè)36km，也就是路程差是2×36=72（km）。路程差這個(gè)難點(diǎn)解決了，我們?cè)賮?lái)看看，相同時(shí)間內(nèi)兩輛車行駛的路程為什么會(huì)相差這么多？那是因?yàn)榧滓覂绍嚸啃r(shí)速度相差了54-48=6（km），因此，利用“相遇時(shí)間=路程差÷速度差”，算出了相遇時(shí)間，再用“總路程=相遇時(shí)間×速度和”計(jì)算出AB兩地的距離。在分析此類較為復(fù)雜的行程問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把已知條件和問(wèn)題及數(shù)量關(guān)系完整地體現(xiàn)在線段圖中，但有時(shí)候圖中并不能順利找出隱藏的條件時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況，調(diào)整一下線段圖（前提是不能改變題目意思），把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的關(guān)系，或把圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，都能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，調(diào)動(dòng)起學(xué)生解決問(wèn)題的積極性，提高學(xué)習(xí)自信心。

四、數(shù)形結(jié)合，將抽象的幾何問(wèn)題具體化、數(shù)量化

“數(shù)形結(jié)合”還能幫助學(xué)生建立起初步的幾何直觀，發(fā)展空間觀念。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)，在一些抽象的幾何題中，如能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法加以分析，則事半功倍。

如：用一根長(zhǎng)16cm的鐵絲圍一個(gè)長(zhǎng)方形，怎樣圍能使圍成的圖形面積最大？由于鐵絲具有自身的特性，不易折成長(zhǎng)方形，想用鐵絲來(lái)實(shí)際操作不太容易。這時(shí)鐵絲的長(zhǎng)度就是圍成圖形的周長(zhǎng)，如果借助表格形式，把長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與長(zhǎng)寬的關(guān)系顯示出來(lái)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，因此，只要長(zhǎng)與寬的和是8cm就符合題意，列表如下（為了方便計(jì)算，長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度用整數(shù)表示）。

從表格中非常直觀看出，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相等（已是正方形）時(shí)，圍成的圖形面積最大。這也從旁驗(yàn)證了周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形和正方形，正方形的面積最大。教師在引導(dǎo)學(xué)生探索時(shí)，充分利用表格，以數(shù)輔形，讓學(xué)生在觀察、分析、比較、概括的過(guò)程中，學(xué)會(huì)使用這一思想方法。

數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用特別廣泛，小到比多比少的問(wèn)題，倍數(shù)問(wèn)題、和倍差倍問(wèn)題，大到復(fù)雜的行程問(wèn)題、植樹問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題等等，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中都能發(fā)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的影子，教學(xué)價(jià)值相當(dāng)高。蘇聯(lián)教育學(xué)家贊科夫說(shuō)過(guò)：“教會(huì)學(xué)生思考，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一生中最有價(jià)值的本錢?！惫耪Z(yǔ)亦有云：“授之以魚，不如授之以漁?！痹诮虒W(xué)中，我們應(yīng)認(rèn)真研讀教材，對(duì)整個(gè)小學(xué)階段的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)的先后及呈現(xiàn)的方式有個(gè)完整的認(rèn)知，熟悉每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，充分挖掘教材中的核心內(nèi)容，適時(shí)將“數(shù)形結(jié)合”思想滲透于具體的問(wèn)題情境中，合理地進(jìn)行教學(xué)，教會(huì)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的方法，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用該思想的意識(shí)和能力，學(xué)會(huì)利用各種示意圖如直觀圖、點(diǎn)子圖、色條圖、線段圖、集合圖、數(shù)軸等等，把抽象的概念教學(xué)直觀化、形象化，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明朗化、簡(jiǎn)單化，把復(fù)雜的形體關(guān)系具體化、數(shù)量化，有利于啟發(fā)思維，開拓思路，實(shí)現(xiàn)形象思維和抽象思維的互補(bǔ)，提高解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的思維水平，讓它真正成為一把利器，為后續(xù)學(xué)習(xí)高效服務(wù)。