基于考查問題的數學高考內容研究
——以三角函數為例

廣西 黎福慶

一、基于考查問題的數學高考內容研究的必要性

通過在中國知網期刊全文數據庫和中國博士學位論文全文數據庫、以及維普、萬方數據庫中進行檢索等不完全統計，發現國內至今很少發表或研究基于考查問題的數學高考內容研究的文章.以“數學核心素養”作為關鍵字，在中國知網數據庫中進行搜索，很多都是小學和大學的數學核心素養文章.此外，目前我國對于核心素養下的高考分析的相關論述，多散落在各種政府部門發布的關于高考的文獻或書籍中，大多數不夠系統和全面，更很少關注“基于考查問題的數學高考內容”這一概念.因此，基于考查問題的數學高考內容研究，是當前高中數學課程改革浪潮中需要研究的課題.

二、歸納2015-2017年全國課標卷(理科數學)各題型中同類問題從而得出考查問題

(一)類型1：利用主要三角公式變形求值1．歸納考查具體問題

(2015·全國卷Ⅰ理·2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=

( )

答案：D.

具體問題：利用兩角和公式、誘導公式變形求值.

( )

答案：D.

具體問題：利用兩角差公式、同角公式變形求值.

( )

答案：A.

具體問題：利用二倍角公式、同角公式變形求值.

2．歸納同類型的題型結構及變式

(1)小題題型結構

題型1：利用主要三角公式直接變形、化簡含已知角的三角函數并求值；

題型2：已知一個角的三角函數值，利用主要三角公式變形、代換、求值，求含該角的其他三角函數的值.

注意：這里主要三角公式是指兩角和與差的三角公式(含二倍角)、同角公式、誘導公式；這兩類題型都是簡單的三角恒等變換求值，變形一般不超過兩次，或所用到的三角公式不超過兩個.在解答題不考查三角函數時，會采用題型1來降低試卷難度.

(2)小題結構變式的訓練題

( )

答案：B.

3．根據具體問題歸納小問題及其考查問題

(二)類型2：利用常見三角公式變形并根據三角函數圖象和性質求三角函數有關的圖象、性質或值

1．歸納考查具體問題

(2015·全國卷Ⅰ理·8)函數f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區間為

( )

答案：D.

具體問題：根據三角函數圖象及其變換求三角函數單調區間.

(2015·全國卷Ⅱ理·10)如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x．將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f(x)，則y=f(x)的圖象大致為

( )

答案：B.

具體問題：根據三角函數的圖象和性質求三角函數的圖象.

( )

A.11 B.9 C.7 D.5

答案：B.

具體問題：根據三角函數的圖象、性質及變換求三角函數中參數的值.

( )

答案：B.

具體問題：根據三角函數的圖象及變換求三角函數的對稱軸.

( )

答案：D.

具體問題：根據三角函數的解析式進行三角函數的變換.

2．歸納同類型的題型結構及變式

(1)小題題型結構

①題型1：已知一個含參數的正弦型(余弦型)的函數或圖象，求函數的性質或圖象；

②題型2：給一個有周期變化背景的問題，求刻畫該問題變化規律的函數的圖象或性質.

注意：一般在解答題不考查三角函數時，會采用這種題來降低試卷難度.

(2)小題結構變式的訓練題

④條件和結論變式：函數y= 的圖象可由函數y= 的圖象至少向 平移________個單位長度得到．

3．根據具體問題歸納小問題及其考查問題

(三)題型3：解答題(或小題)：利用正余弦定理、主要三角函數公式、基本不等式等知識，通過轉化、方程等思想，經過運算、推理、解三角形及其有關問題.(注意：若有三角函數解答題則其主要內容是考查解三角形，若無解答題則用上述小題考查解三角形.)

1．歸納考查具體問題

(2015·全國卷Ⅰ理·16) 在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是__________.

具體問題：利用正、余弦定理并結合圖形解三角形及有關問題.

(2015·全國卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．

具體問題：利用面積公式列方程，變形求解.

(2016·全國卷Ⅰ理·17)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC·(acosB+bcosA)=c.

(Ⅰ)求C；

具體問題：利用正余弦定理、三角形面積公式和方程思想解三角形.

具體問題：利用正弦定理、三角公式和方程思想解三角形.

( )

答案：C．

具體問題：利用正弦定理或余弦定理和方程思想解三角形.

(Ⅰ)求sinBsinC;

(Ⅱ)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長．

具體問題：利用正弦定理、余弦定理、三角公式、面積公式列方程，變形求解三角形.

(Ⅰ)求cosB;

(Ⅱ)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.

具體問題：利用余弦定理、三角公式、面積公式和方程思想解三角形.

(Ⅰ)求c；

(Ⅱ)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC,求△ABD的面積．

具體問題：利用余弦定理、三角函數公式、面積公式和方程思想解三角形.

2．歸納三角函數解答題試題模型

3．根據具體問題歸納小問題及其考查問題

4．解答題得分點及其得分點訓練

(1)解答題得分點

1．根據已知等式、正余弦定理、三角函數公式、所給三角形中的幾何等量關系，列含所求量或與之有關的三角形元素的方程；

2．通過代換或運算，化簡所列方程，消去與所求量無關的元素或量；

3．求出所求量；

4．給出面積或其他量的表達式，并轉化為某個或某兩個變量的函數關系式；

5．利用基本不等式或函數求最值.

(2)解答題得分點訓練

(2015·全國卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．

1.列方程

由“AD平分∠BAC，S△ABD=2S△ADC”，

求“BD和AC”，可列方程，

S△ABD=2S△ADC，得BD=2DC，③

由余弦定理得，

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，④

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC，⑤

2.化簡②③④

3.求解：由①②得第(Ⅰ)問的解，由③④⑤得第(Ⅱ)問的解.

三、三角函數考查的內容

(一)正余弦定理、主要三角函數公式、三角形面積公式、特殊角三角函數值；

(二)相關內容：用函數性質或基本不等式求最值；

(三)思想方法：函數與方程思想(用函數概念、圖象和性質分析、解決問題， 尋找等量關系列方程)，轉化與化歸思想(利用公式、定理、有目標地化簡、運算、求值).

四、基于考查問題的數學高考內容研究的教學啟示

當前有一些學校的高考備考做法令人擔憂，如：拿全部時間來上課或刷題，主要原因是個別教師自己沒有弄清“高考到底考什么”.“基于考查問題的數學高考內容的研究”可以讓教師教得少點，學生學得輕松點，本人觀點主要包含兩個方面：

(一)考查問題的歸納.將近三年高考全國卷試題按照內容分類，歸納各類試題考查的具體問題、小問題，歸納出小題題型結構及其變式、大題模型及其得分點.

(二)以“六題”為關鍵的高考復習板塊教學設計.具體如下：1.考查問題對應題：依據考查問題，選高考題或對其變式；2.例題：依據考查問題及其小問題，對教材、參考資料、高考題進行變式；3.變式練習題：依據例題解答及其有關問題，對教材、參考資料進行變式；4.目標測試題：依據教學目標及其有關問題，對例題進行變式；5.作業題：依據本次和下次教學目標及其有關問題、某板塊高考題，對教材、參考資料、高考題進行變式；6.課前測試題：依據作業題進行變式.