“超級(jí)全能生”2018年高考全國(guó)卷26省3月聯(lián)考乙卷數(shù)學(xué)(文科)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

( )

A．{x|x≥1} B．{x|1

C．{x|1≤x<2} D．{x|x>0}

2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1-i)=2i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．公元263年，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣.”意思就是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加的時(shí)候，它的周長(zhǎng)的極限是圓的周長(zhǎng)，它的面積的極限是圓的面積.”如圖，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自其內(nèi)接正六邊形ABCDEF的概率是

( )

( )

C．y=sinx-xD．y=x-cosx

( )

A．y=2x+1

D．y=ln(x+3)

( )

A．2 017 B．-2 017 C．1 D．-1

7．已知圓C的圓心在y軸上，點(diǎn)M(3,0)在圓C上，且直線2x-y-1=0經(jīng)過(guò)線段CM的中點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

( )

A．x2+(y-3)2=18 B．x2+(y+3)2=18

C．x2+(y-4)2=25 D．x2+(y+4)2=25

( )

9．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，M是PC上一點(diǎn)，欲使AM⊥BC，可以增加的條件是

( )

A．AB⊥BC

B．AM⊥PC

C．AB⊥AC

D．PC⊥BC

( )

( )

A．(1,3) B．(1,2)∪(3,+∞)

C．(2,3) D．(0,1)∪(3,+∞)

12．已知拋物線C：y2=2x和點(diǎn)P(2,2)，A，B是C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為kPA,kPB滿足kPA+kPB=2，則直線AB過(guò)定點(diǎn)

( )

A．(1,0) B．(-1,0) C．(0,-1) D．(0,0)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．已知向量a=(1,2),b=(-3,4)，則(2a-b)·b=________.

14．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________.

⑤數(shù)列{an}中最小的項(xiàng)為a4．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題:共60分.

17.(12分)

(Ⅰ)求角A的值；

18．(12分)

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別是SB，CD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：EF∥平面SAD；

(Ⅱ)設(shè)SD=AD=3,AB=4，求三棱錐F-SAB的高．

19．(12分)

2016年1月21日《人民日?qǐng)?bào)》刊登的文章《閱讀微信 謹(jǐn)防病態(tài)》中說(shuō)我國(guó)公民讀書時(shí)間不多，可讀微信的時(shí)間，恐怕在世界上都數(shù)一數(shù)二.為此某團(tuán)體在某市隨機(jī)抽取了a名公民，調(diào)查這些公民一天的微信閱讀時(shí)間(單位：分鐘)得到如圖的頻率分布表和頻率分布直方圖：

微信閱讀時(shí)間(單位:分鐘)[0,50](50,100](100,150](150,200]人數(shù)1540b10

(Ⅰ)根據(jù)所給頻率分布表和頻率分布直方圖中的信息求出a,b的值，并將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)中的頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

(Ⅲ)在[0,50]和(150,200]這兩組中采用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人來(lái)自不同組的概率．

20．(12分)

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B為橢圓E的上頂點(diǎn)，e為橢圓E的離心率，直線l交橢圓E于C，D(均異于B點(diǎn))，且BC，BD的斜率之積等于e2，求直線l的斜率的取值范圍．

21．(12分)

(Ⅱ)當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(二)選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

(Ⅰ)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

23．[選修4-5：不等式選講](10分)

已知函數(shù)f(x)=|x-a|.

(Ⅰ)若f(x)≤b的解集為[-1,1]，求實(shí)數(shù)a,b的值；

(Ⅱ)當(dāng)a=-2時(shí)，不等式f(x-5)≥f(x)-t2+4t對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

參考答案

1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.C8.C9.D

10.A11.B12.C13．-1514．2π15．816．①③④

(3分)

(4分)

(5分)

(6分)

(9分)

(11分)

(12分)

18．解：(Ⅰ)證法一：取SA的中點(diǎn)M，連接ME，DM.

(1分)

∵E是SB的中點(diǎn)，

(2分)

∵底面ABCD是矩形，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，

∴DF

(3分)

∴DF∥ME，DF=ME，

∴四邊形MEFD為平行四邊形，

(4分)

∴EF∥MD，

(5分)

∵EF?平面SAD，MD?平面SAD，

∴EF∥平面SAD．

(6分)

證法二：取SC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，

(1分)

∵E,G分別是SB,SC的中點(diǎn)，

∴EG∥BC，

(2分)

∵BC∥AD，∴EG∥AD，

(3分)

∵EG?平面SAD，AD?平面SAD，

∴EG∥平面SAD，

同理FG∥平面SAD，

(4分)

∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面SAD，

(5分)

∵EF?平面EFG，∴EF∥平面SAD．

(6分)

(Ⅱ)解法一：取SA的中點(diǎn)M，連接ME，DM.

∵SD⊥平面ABCD，AD,AB?平面ABCD，

∴SD⊥AD，SD⊥AB，

(7分)

∵SD=AD=3，

(8分)

∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，

又SD∩AD=D，∴AB⊥平面SAD，

(9分)

又DM?平面SAD，

∴DM⊥AB，

(10分)

又SA∩AB=A，

∴DM⊥平面SAB，

(11分)

由已知，易得DF∥平面SAB，

∴DM即為三棱錐F-SAB的高，

(12分)

解法二：∵底面ABCD是矩形，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，

AD=3,AB=4，

(7分)

∵SD⊥平面ABCD，

(8分)

易證SA⊥AB，

(9分)

設(shè)三棱錐F-SAB的高為h，

(10分)

(11分)

(12分)

∴a=100，

(1分)

又∵15+40+b+10=100，∴b=35；

(2分)

∴頻率分布直方圖中(50,100]對(duì)應(yīng)矩形的高為

(3分)

(4分)

(5分)

補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖所示:

(6分)

(Ⅱ)∵0.003×50=0.15，0.008×(100-50)=0.4，

0.15+0.4>0.5，

(7分)

(8分)

(Ⅲ)∵微信閱讀時(shí)間在[0,50]和(150,200]的人數(shù)的比值為15∶10=3∶2，

(9分)

∴采用分層抽樣抽取5人，其中微信閱讀時(shí)間在[0,50]中的人數(shù)為3，分別記為a,b,c，微信閱讀時(shí)間在(150,200]中的人數(shù)為2，分別記為A,B，

(10分)

則從5人中隨機(jī)抽取2人所包含的基本事件有ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB共10種，其中2人來(lái)自不同組的基本事件有aA,aB,bA,bB,cA,cB共6種，

(11分)

(12分)

(2分)

(3分)

(4分)

(1分)

(2分)

(3分)

(4分)

(5分)

故直線l的斜率不等于零，

(6分)

可設(shè)直線l的方程為x=ty+m(t≠0)，代入橢圓方程，

得(2t2+3)y2+4mty+2m2-12=0.

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2)，

(7分)

即3(y1-2)(y2-2)=x1x2=(ty1+m)(ty2+m)，

整理得(t2-3)y1y2+(tm+6)(y1+y2)+m2-12=0，

(8分)

即12t2+8tm+m2=0，

∴m=-2t或m=-6t，

(9分)

當(dāng)m=-2t時(shí)，直線l的方程為x=ty-2t，該直線過(guò)點(diǎn)B，不合題意；

當(dāng)m=-6t時(shí)，直線l的方程為x=ty-6t．

(10分)

∵直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)，

∴方程(2t2+3)y2+4mty+2m2-12=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

∴Δ=(4mt)2-4(2t2+3)(2m2-12)=-24(m2-4t2-6)=-24(32t2-6)>0，

(11分)

(12分)

(2分)

(4分)

∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為

y-1=0.

(5分)

(6分)

②當(dāng)a<0時(shí)，若f′(x)<0，則00，則x>1，

∴f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+∞)上是增函數(shù)，

(7分)

∴當(dāng)x=1時(shí)，

(8分)

∵當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→+∞；當(dāng)x→+∞,f(x)→+∞，

(9分)

③當(dāng)0

若f′(x)>0，則01，

若f′(x)<0，則a

∴f(x)在(a,1)上是減函數(shù)，在(0,a)，(1,+∞)上是增函數(shù)，

(10分)

∴當(dāng)x=a時(shí)，

∴f(x)在(0,+∞)上沒有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

(11分)

(12分)

(2分)

(4分)

(5分)

則點(diǎn)P到曲線C2的距離

(6分)

(7分)

(8分)

(9分)

(10分)

23．解：(Ⅰ)∵|x-a|≤b，∴a-b≤x≤a+b，

(2分)

(4分)

∴a=0，b=1.

(5分)

(Ⅱ)當(dāng)a=-2時(shí)，不等式f(x-5)≥f(x)-t2+4t對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，

即|x-3|≥|x+2|-t2+4t恒成立，

即t2-4t≥|x+2|-|x-3|恒成立.

(6分)

∵|x+2|-|x-3|≤|(x+2)-(x-3)|=5，

當(dāng)且僅當(dāng)x≥3時(shí)，等號(hào)成立，

(7分)

∴|x+2|-|x-3|的最大值為5，

(8分)

∴t2-4t≥5，即t≤-1或t≥5．

(9分)

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,-1]∪[5,+∞).

(10分)