三問三思，絲絲入扣
——談如何完整有效地解決含參導數的單調性

浙江 萬小梅

在數學知識體系中，導數是解決函數單調性和最值等問題十分有效的工具，也是新高考中必考的一類題型，時常有參數介入，無形中增加了試題的難度，是學生失分多且不易攻破的難點，而它主要難在學生解決含參導數問題時思維紊亂，討論時缺乏條理性和完整性.導數問題的運用中，單調性的分析是解答問題的“必經之路”，在知曉定義域的前提下對函數求導，便面臨著對參數的討論，如何才能準確且有效地解決這類問題?事實上，這類含參問題看似復雜，但都是程序思維，可以形式化處理.這里筆者從“三問”入手，就如何全面理清含參導數的單調性問題談談自己在實際教學中的一些認識，以期引起讀者思考.

解題程序圖如下：

下面就實例談談具體的做法.

解：先確定函數定義域，求導，導函數通分、因式分解到最簡.

由已知，定義域為(0，+∞),

一問：導數有沒有解.引發以下思考：當ax2-2=0沒有解時，則導函數的根完全由(x-1)決定；如果有解，則會出現除1以外的根，故要對a與0的大小進行討論，討論結果如下：

當a≤0時，ax2-2<0,且當f′(x)=0時，x=1，

則f′(x)>0得x<1,即f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減.

二問：解有沒有用.解有沒有用主要是在解出導數方程的根后，對根是否在函數的定義域內進行判斷，若所得根滿足定義域則等待下一步討論；若所得根不在定義域范圍內，則舍去.

三問:解誰大誰小.在得到兩個或兩個以上的根時，為確定根與根之間的大小可對a再次討論，如下：

綜上,當a≤0時，f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減，

當a=2時，f(x)在(0，+∞)上單調遞增，

此題對a進行的四次討論，因“三問”變得條理清晰，不僅能自然地引發學生思考，且很好地避免了重復和遺漏的現象，整個過程是一個嚴密的程序思維，學生容易掌握.

解：由已知，定義域為(0，+∞)，

當a≠0時，Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).

①當a>0時，x1<0且x2<0，即f′(x)=0在(0，+∞)上無解,即f′(x)>0,則f(x)在(0，+∞)上單調遞增.

上面兩個單調性的討論，三問三思，整個過程環環相扣，三個問題看似簡單，其實充斥著大量的思維訓練，例1中導函數求解后，能夠因式分解，便直接進入二、三問；而例2中，導函數方程不能簡單的因式分解，則在問題提出后，開始問與思的互動過程：

導函數方程沒有辦法求解的問題也可以用這樣的方式去問，引發思考從而達到完整解答的目的.

解：由已知，f(x)-g(x)≥0恒成立,

即6xex-1-4a+3-2ax3-3x2+6(a-1)x≥0,

令h(x)=6xex-1-4a+3-2ax3-3x2+6(a-1)x,

則h′(x)=6(x+1)(ex-1-ax+a-1), (1)

令t(x)=ex-1-ax+a-1，則t(1)=0,

t′(x)=ex-1-a, (2)

當a≤1時，t′(x)≥0,則t(x)在(1，+∞)上單調遞增,

所以t(x)>0,則h′(x)>0，即h(x)在(1，+∞)上單調遞增,又h(1)=0,則h(x)≥0恒成立.

當a>1時，解t′(x)=0,即ex-1=a，得x0=1+lna∈[1,+∞),

則t(x)在(1，1+lna)上單調遞減，在(1+lna,+∞)上單調遞增，

又t(x0)<0,則存在x′，使得h′(x′)=0，當h′(x′)>0時，得x>x′，

所以h(x)在(1，x′)上單調遞減，在(x′,+∞)上單調遞增,

所以h(x)min=h(x′)

綜上a≤1.

題目中構造的函數相對比較復雜，所以導函數化到最簡的重要性也體現出來，如(1)，在(1)中的兩個因式，x+1>0,而ex-1-ax+a-1是由兩個不同類函數(一次函數與指數函數)構成，比較難求解，但是“看”出了x=1是其中一根，這里自然需要討論是否存在另外的根，下面的討論也很自然，構造新函數并二次求導(如(2))，即分析出ex-1-ax+a-1=0有兩個根，并且能比較大小，后面的解答也就水到渠成，整個分析過程充分體現了“三問三思”在解決問題時體現的條理性和完整性.