一道高考數列題的探究與拓展

江蘇 張啟兆 陳偉斌

近幾年全國各省高考試題對數列知識的考查大部分集中在壓軸題和倒數第2題的位置，可見這部分內容非常重要.下面以2017年江蘇省高考數學第19題為例，分析解決有關問題的基本思路.

題目：對于給定的正整數k,若數列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數n(n>k)總成立，則稱數列{an}是“P(k)數列”.

(Ⅰ)證明：等差數列{an}是“P(3)數列”；

(Ⅱ)若數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：{an}是等差數列.

一、解法探究

這是一道定義新概念型數學問題，除了給出“P(k)數列”的定義以外沒有給出其他任何的條件，這樣的數學問題就只能嚴格按定義尋求解決問題的突破口，真正做到“從定義出發”，第(Ⅰ)問是一個簡單題，意在讓考生通過具體數列感知“P(k)數列”的具體含義，它是第(Ⅱ)問的鋪墊.本題的重頭戲是第二問，目標是證明“數列{an}是等差數列”.在明確了目標后，就可以有的放矢.通常情況下，可以通過以下幾個結論說明數列{an}是等差數列：

對任意的自然數n均有an+1-an是一個常數；

對任意n≥2的自然數n，均有an+1+an-1=2an.

回頭審視一下題目條件：數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，這一條件意味著對任意自然數n，當n>2時，都有an-2+an-1+an+1+an+2=4an①；當n>3時，都有an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an②.

如何將條件轉化為目標式？這是解題最關鍵的一步！

如果一時找不到出路，我們可以認真地盯著目標式，不斷地追問目標是什么？需要什么樣的式子？在不斷地追問下就能逐步明確目標式中需要(an+1+an-1)，那么如何構建這一式子呢？這就需要將①和②進行適當加減才有可能得到和式(an+1+an-1)，但是如果直接相加，左邊的式子將變得更加繁雜，于是我們應將這兩個數字進行“變臉”，如何“變”？可以考慮到將①或②的右邊變臉為an+1和an-1，究竟將哪個式子變臉呢？通常選擇①式，主要從以下兩個方面來考慮：首先①長得相對“瘦小”，變起來方便，因為將其中一式變臉成an+1后還要變化出an-1，考慮到數學的對稱美，an+1和an-1構建通常從同一個數字變化而來，而第②式相對“高大”些，變臉后兩個新的式子將變得比較“長”；其次是變化出an+1和an-1后還要將這個式子相加，如果從②出發變化的話，涉及到數列中的項將越來越多，這對處理問題是極為不利的.考慮到這一點后我們不妨對第①式進行改造.

在①中將n置換成(n-1)，得an-3+an-2+an+an+1=4an-1，將n置換成(n+1),同樣可得an-1+an+an+2+an+3=4an+1.

把這兩個式子相加會得到什么呢？(相加的目的是向目標式an+1+an-1=2an靠近！)

an-3+an-2+an-1+2an+an+1+an+2+an+3=4an-1+4an+1. ③

兩個式子相加后得到③式，它明顯比原來長“胖”了.可是別忘了還有②式，仔細觀察發現③中有6項，正好是②式左邊的6項，于是我們可以將之代換成②式右邊的6an，便得到6an+2an=4an-1+4an+1，即an+1+an-1=2an.

到此為止，似乎問題已得到解決，但可別被一時的成功沖昏了頭腦，在上述思考過程中，我們多次將①中的n進行置換，而①成立的條件是n>2，也就是說用來置換n的所有式子都必須滿足這個條件，即以下兩個式子an-3+an-2+an+an+1=4an-1和an-1+an+an+2+an+3=4an+1成立的條件分別是n>3和n>1，即③成立的條件是n>3.因此，到目前為止還只證明了當n>3時，an+1+an-1=2an成立，即數列{an}從第三項開始是等差數列，而要說明數列{an}是等差數列必須說明an+1+an-1=2an對任意n≥2的自然數n都成立.因此，要完整證明{an}是等差數列，還必須單獨證明a1+a3=2a2和a2+a4=2a3.

二、解法反思

1.反思解題結構實現解題思路明晰化

首先提煉其解題步驟，大致可以分為五大步，記為S1～S5.S1 明確目標式；S2 將條件轉化為目標式；S3 證明{an}從第3項起成等差數列；S4 證明{an}從第2項起成等差數列；S5 證明{an}成等差數列.其中最關鍵的是第三步，而在第三步中最有價值的解題進展是“利用替換法” ．

2.反思問題表征，促進解題思路自然化

問題表征是解決問題時理解問題的方式．反思問題表征，能加強對問題信息的感知、理解與內化，促進解題主體對解題思路的探求．如：將①或②的右邊變為an+1和an-1，究竟將哪個式子進行變化呢？根據“瘦小”“數學的對稱美”選擇①.

3.反思思想策略，實現陌生問題熟悉化

第(Ⅱ)問涉及的主要知識點、數學方法 、數學思想和數學能力如下表：

知識點等差數列的定義、性質及證明數學方法替換法、等式變形法、代入法、用定義驗證數學思想從一般到特殊、轉化與化歸數學能力邏輯思維能力、等式變形及化簡能力、數學運算能力、探究問題解決問題的能力

第(Ⅱ)問所選擇的主要策略是簡化與轉化，且從一般到特殊的思想方法貫穿整個證明過程．其中第三大步S3體現了一般性的思考，第四大步S4則體現了特殊性的思考．這種思考問題的策略學生可能比較陌生.其實2011年江蘇高考數學試卷的第20題和上面的試題類似.

三、嘗試拓展

作為一種題型教學，其問題本身的解決不是終極目標，而是要把規律探究過程中所采用的類比推理方法、手段和探究的成果，充分運用到后續的學習過程和問題解決之中，在轉化與運用的過程中，必須充分考慮學生的可接受能力，以及學生的學習現狀，與已有的知識、能力、基礎在學生的最近發展區與認知水平基點上，設計出讓學生深入思考的變式問題，并通過這些問題的分析和解決，鞏固學生先前通過類比推理所獲得的知識.

波利亞說過：“類比滲透于我們所有的思想、我們每天講的話和我們作出的瑣碎的結論乃至藝術的表達方法和最高的科學成就．類比在各種不同的層次上得到應用”．可見類比是一種及其普遍而又非常重要的方法，是迅速提升聯想能力的一種手段．類比思維通常有五種：特殊向一般類比、抽象向具體類比、低緯向高緯類比、平行性類比、方法性類比.平行性類比，就是在兩類相近事物性質之間進行的類比，如等差數列與等比數列，橢圓與雙曲線等.于是有改編試題如下：

(Ⅰ)若數列{an}是各項均為正數的等比數列，判斷{an}是否為“Q(2)數列”,并說明理由；

(Ⅱ)若數列{an}既是“Q(2)數列”，又是“Q(3)數列”，證明：{an}是等比數列.

解：(Ⅰ){an}是“Q(2)數列”,理由如下：

因為數列{an}是各項均為正數的等比數列，不妨設公比為q．

(Ⅱ)因為數列{an}既是“Q(2)數列”，又是“Q(3)數列”，

所以數列{an}從第3項起成等比數列，不妨設公比為q′.

所以數列{an}是公比為q′的等比數列.

四、幾點啟示

1.要樹立目標意識.對于定義新概念型數學問題，要引導學生樹立目標意識，圍繞目標逐步逆推.因為數學思維是從發現問題開始的，發現問題是解決問題的起點，也是解決問題過程的動力之一.發現問題后還需要進一步明白問題的實質，只有問題弄明白了，思維才有方向.明確問題就要找出問題的關鍵所在，它需要把問題加以分析，才能找到解決問題的方法.

2.要重視數學閱讀能力的提高.近幾年的高考試卷很明顯地表露出一個特點：那就是增強了對學生閱讀水平的考核.以2017年江蘇高考第19題為例，這是一個定義新概念型的問題，如果學生不能讀懂“P(k)數列”的意義，那么這道題就無從下手，其次如果學生不能深刻領會“P(k)數列”定義中的關鍵信息“k是一個確定的量，而n是滿足n>k的任意自然數”，那么就不可能靈活地對“an-2+an-1+an+1+an+2=4an”中的變量作必要的替換，也就沒法尋找到解題的突破口.要提高數學閱讀能力，平時要重視審題，學會抓關鍵詞，學會多元表征，還要重視對數學語感的培養.其實，語感是駕馭語言的一種技能，在數學學習中數學語感表現為數學理解的精準度和敏感度，數學問題中無論是顯性的還是隱性的關系都能從問題本身的文字里得到一定的體現，如果學生能夠敏銳地從文本的字里行間感知相關信息，那么就能比較快速而精準地解決相應的問題.