一道圓錐曲線試題的多解、變式與延伸

甘肅 李旺強 董 強

對于數學問題的解答，選擇恰當的審視角度進行有效的知識對接，是解決數學問題的關鍵所在.在平時的習題教學中，執教老師對課本例、習題要進行深入的挖掘，在探究其多種解法的同時，對試題進行適當的變式與相關的拓展，對應鏈接來進一步開闊學生的視野，讓學生從不同的角度來體會相同背景下的相同(相似)問題、不同背景下的不同(相似)問題、相同背景下的不同(相似)問題、不同背景下的相同(相似)問題的求解策略，就很容易生成清晰的解題思路，自然就會得到最優化的解題方案，進而提升學生的思維能力.

當學生問及此題時，從他們的交談中發現，學生不會做或者做不全這道題的根本原因有兩個方面.

(1)對題目審視不嚴，沒有明白題目的設計意圖和考查要求，不能將題目中所呈現的已知條件和所學知識進行有效的結合，尤其是對一些數學思想(如數形結合、轉化與化歸等)不能融會貫通.

(2)對于與圓錐曲線相關的題目，學生本身有一種畏懼感，由于此類題目運算量較大，思維比較抽象，難度本身也較大，因此學生總是把這類題目復雜化，進而導致解題思路發生偏移.

針對學生面臨的困境，引領學生再次閱讀題目，并告誡他們面對數學問題首先要學會“審”，也就是要審清題目的意圖和考查動向；其次要“思”，就是通過審題要抓住題目中的有效條件展開思考，尋求解決方案；再次要“辨”，就是對思考中所形成的解題思路和方案要進行辨析，從中選擇最優解法.

一、多視角審題、學生解法展示

【解法一】

所以(2x0-3)(x0+6)=0,

【解法二】

【解法三】

因為PA⊥PF，所以在直角三角形APF中，有PA2+PF2=AF2,

經過上述三位學生的解法展示，從中可以發現學生1提供的解法一是由條件PA⊥PF聯想到直線垂直時的斜率關系，學生2由條件PA⊥PF構造了向量的數量積，學生3由條件PA⊥PF出發，根據直角三角形利用勾股定理，顯然三種解法中唯有學生2提供的最為簡便，但縱觀三種解法，它們的突破口都是由條件PA⊥PF出發，進行多角度的聯想與構造，體現了同一學科不同內容之間的交融性.

二、變式提升

變式1(變條件) 將上述問題中的條件“位于x軸的上方”去掉，其余條件不變.

變式2(變條件) 將上述問題中的條件“PA⊥PF”改為“S△PAF=10”，求P的坐標.

變式4(變條件) 將變式3中的條件“P為右支上一點，位于x軸上方”改為“P為右支上一點”，其余條件不變，求P的坐標.

變式5(變條件) 將變式3中的條件“P為右支上一點，位于x軸上方”改為“P為雙曲線上任意一點”，其余條件不變，求P的坐標.(答案同變式4)

三、拓展延伸

延伸2： 等腰Rt△ABO內接于拋物線y2=2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB,求△ABO的面積.答案:4p2.