多面體外接球的求法

廣東 鄭榮坤

如果一個多面體的每個頂點都在同一個球面上，那么這個球稱為多面體的外接球，這個多面體稱為球的內接多面體.求多面體外接球是高考的高頻考點，而抽象的空間想象通常讓學生一片茫然，因此，“求多面體外接球”也是學生認為較難的考點.雖然它比較抽象,但也不是無法可依,下面筆者歸納常見的解題方法,與讀者共勉.

一、長方體(正方體)外接球

由多面體的外接球定義可知，多面體外接球的球心到多面體每個頂點的距離都相等.而長方體(正方體)對角線中點到每個頂點的距離都相等，因此，長方體(正方體)對角線中點就是其外接球的球心.下面給予證明.

已知:如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線AC1的中點為O.

求證:OA=OB=OC=OD=OA1=OB1=OC1=OD1.

證明:連接AB1，DC1得四邊形AB1C1D如圖所示，

四邊形AB1C1D為矩形，由矩形對角線互相平分且相等，

得OA=OB1=OC1=OD.

同理容易證:

OA=OB=OC=OD=OA1=OB1=OC1=OD1.

【例1】已知長方體ABCD-A1B1C1D1的所有頂點在一個球面上，若球的表面積為4π，當|DC|·|AD1|的值最大時，則三棱錐B1-ADD1的高為__________.

解析：如圖所示，設長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的半徑為R，

|AB|=a,|AD|=b,|AA1|=c.

由4πR2=4π，解得R=1.

由長方體外接球的球心為體對角線AC1的中點O，得|AC1|=2R=2，則a2+b2+c2=4.

當且僅當a2=b2+c2時等號成立，

又a2+b2+c2=4，

而三棱錐B1-ADD1的高B1A1的長|B1A1|=|AB|=a,

二、補形法

對于一些比較特殊的多面體，將其放入長方體(正方體)中，當多面體的每個頂點都為長方體(正方體)的頂點時，多面體的外接球就是所放入長方體(正方體)的外接球，稱這種求多面體外接球的方法為補形法.特殊三棱錐(柱)、四棱錐(柱)外接球的求解常采用補形法，下列以三棱錐為例，說明如何利用補形法求解特殊多面體的外接球.

1.“垂角”三棱錐

“垂角”三棱錐:側棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱錐就稱為“垂角”三棱錐.

【評注】將“垂角”三棱錐補為長方體，長方體的外接球為該三棱錐的外接球.這樣一來，“垂角”三棱錐外接球的求解自然有法可依.除了“垂角”三棱錐之外，求解“側棱垂直于底面，底面是矩形的四棱錐”的外接球也常采用補形法，還有求解“底面是直角三角形(矩形)的直三棱柱(直四棱柱)”的外接球也常采用補形法.

2.“棱面”三棱錐

“棱面”三棱錐：由長方體的一條棱和一條對角線所形成的三棱錐就是“棱面”三棱錐，它的四個頂點所成空間四邊形中恰有三個直角.

【評注】將“棱面”三棱錐補為長方體，長方體的外接球為該三棱錐的外接球.但在操作過程中，務必選好四面體中的一組對棱，其中一條要同時垂直于兩條異面棱，將這條棱作為長方體的棱，它的對棱作為對面的對角線.例如上述例題，由于AB⊥BD，AB⊥AC，則把AB作為長方體的側棱，AB對棱CD作為長方體一個面的對角線，由于AC⊥CD，則把AC作為長方體的另一條側棱，進一步確定棱CD在長方體中的具體位置.

3.“對等”三棱錐

“對等”三棱錐：三組對棱分別相等，三棱錐的六條棱可以看成是長方體六個面的面對角線.

【評注】三棱錐中兩條相對棱為一組，將其六條棱分為三組，如果每一組中兩條相對的棱相等，那么將其補形為長方體，長方體的外接球為該三棱錐的外接球，但在操作過程中，應該將三棱錐的棱作為長方體的面對角線.

三、截面法

利用球截面小圓的圓心和球心連線與截面垂直的性質.先找球截面小圓的圓心，再連接截面小圓的圓心與球心，從而構造直角三角形來求解.

【評注】正三棱錐或正四棱錐的外接球的球心落在錐體頂點與底面幾何圖形外接圓的圓心的連線或延長線上，求“正三棱錐或正四棱錐”的外接球常采用截面法.先找截面幾何圖形的圓心，再連接截面小圓的圓心與球心，從而構造直角三角形來求解，其中截面幾何圖形外接圓的半徑長可利用正弦定理來計算.求“正三棱柱或正四棱柱”外接球也常用截面法，連接正三棱柱或正四棱柱的上下底面外接圓的圓心，以兩圓心為端點的線段中點就是其外接球的球心.

四、性質法

直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，利用這個性質來確定球心位置的方法就稱為性質法.

【評注】一個三棱錐中存在兩個直角三角形,先確定這兩個直角是否有共同的斜邊.如果這兩個直角三角形有共同的斜邊,那么問題就簡單了,外接球的球心就在斜邊的中點上.根據題目給定條件求出兩直角三角形的斜邊長度,外接球半徑就是它的一半.

五、投影法

球心與截面小圓的圓心連線與截面垂直，因此，如果兩條線在兩個截面中的投影分別為兩個截面小圓的圓心，那么這兩條線的交點就是球心，這種確定外接球球心的方法為投影法.

設該四面體內切球的半徑為r，

解法4(性質法)：由于平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，CD⊥BD，則CD⊥平面BPD，由于BP?平面PBD，則CD⊥BP，由于PD⊥BP,PD∩CD=D,則BP⊥平面PCD，又由于PC?平面PCD，則BP⊥PC.由于△PBC，△DBC是以BC為共同斜邊的直角三角形，則可以采用性質法求解.如圖所示，取BC邊的中點O，在Rt△PBC中，OP=OB=OC，在Rt△DBC中，OD=OB=OC，故O為四面體外接球的球心.后續求解過程同上.