一元函數極限四段式分析定義的教學探討

馬忠蓮

摘 要 文章完整的寫出了一元函數極限的25個定義，給出了25個定義的恰當簡稱，通過對簡稱方式的教學使學生牢固把握極限的定義。把25個定義恰當簡稱為四段式定義。通過四段式的對比與合理的搭配，結合自變量的變化過程和函數的變化趨勢得出讓學生快速、熟練、深刻把握極限四段式定義的方法。通過這方面的引導使學生對極限定義、符號和意義有了更深層次的理解和把握，為微積分的教學奠定必要的基礎。

關鍵詞 函數 極限 四段式

0引言

一元函數極限的定義是微積分的入門內容，所有的微積分學建立在一元函數極限定義的基礎之上。一元函數的極限的定義一共有25個。25種定義是對極限概念完整深入把握的關鍵，實踐證明?？茖W生掌握25種定義是一個很困難復雜的教學內容。實踐證明把極限定義分成四段，結合應用自變量的變化過程與函數的變化趨勢的深入理解，熟練把握這25種一元函數極限定義行之有效的高效教學方法。（1）一元函數極限定義可以用①②恰當的給出每一個極限的恰當叫法。（2）把25個極限定義統稱為四段式定義。通過這兩點對極限四段式定義找到較好的掌握方法，并對極限定義深入的理解，為微積分的學習奠定堅實的基礎。

1一元函數極限的四段式定義

數學分析中的25個極限定義都可以分成四段，因此稱之為四段式定義。有的書上稱為不等式定義，有的稱定義，定義，定義或都未能全面的把25種恰當概括。用極限四段式定義最為貼確，它能囊括25種定義的共同特點。對一元函數乃至對多元函數都可以用四段式表示。25種一元函數的四段式定義用①②③④標注出四段式如下：（1）數列可以看作自變量為n的函數。數列極限的定義： ①，②，③，④。（2）函數在的極限為的定義：①，②，③有④。（3）函數在的右極限為的定義：①，②，③，④有。（4）函數在的左極限為的定義：①，②，③，④有。（5）函數在的極限為的定義：①，②，③，④有。（6）函數在的右極限為的定義：①，②，③，④有。（7）函數在的左極限為的定義：①，②，③，④有。（8）函數在的極限為的定義： ①，②，③，④有。（9）函數在的右極限為的定義：①，②，③，④有。（10）函數在的左極限為的定義： ①，②，③，④有。（11）函數在的極限為的定義：①，②，③，④有。（12）函數在的右極限為的定義： ①，②，③，④有。（13）函數在的左極限為的定義：①，②，③，④有。（14）函數在時的極限為的定義：①，②，③，④有。（15）函數在時的極限為的定義：①，②，③，④有。（16）函數在時極限為的定義：①，②，③，④有。（17）函數在的極限為的定義：①，②，③，④有。（18）函數在時的極限為的定義：①，②，③，④有。（19）函數在的極限為的定義①，②，③，④有。（20）函數在的極限為的定義：①，②，③，④有。（21）函數在時極限為的定義： ①，②，③，④有。（22）函數在時極限為的定義：①，②，③，④有。（23）函數在的極限為的定義：①，②，③，④有函數在時極限為的定義： ①，②，③，④有。（25）函數在時極限為的定義：①，②，③，④有。

可見（1）用每一個定義的①，②來簡稱極限的定義又很好的理解記憶，用起來比較貼切，不容易出錯。（2）再把25個定義書寫對齊，就能從直觀上看出其實就是6種②③和4種①④的搭配就得64=24個極限定義。

2自變量變化過程和函數變化趨勢

一元函數自變量的變化過程有六種，（1），表示從的左右兩邊無限靠近時；（2），表示從（下轉第156頁）（上接第152頁）的右邊無限靠近時；（3），表示從的左邊無限靠近時；（4）表示無限增大或無限減小時；（5），表示無限增大時；（6），表示無限減小時。對于一元函數除極限不存在外，在自變量的六種變化過程下函數有四種可能的變化趨勢：（1），表示無限接近。（2），表示無限增大或減小。（3），表示無限增大。（4），表示無限減小。

以上6種中每一種自變量變化過程與函數的4種變化趨勢，根據極限表達式及意義探討類型，并進行合適搭配，一共就搭配出24個一元函數的四段式定義。自變量變化過程由②③表述。函數變化趨勢由①④表述。若將25種定義依次對齊寫出更能看出其中規律。

3四段式定義的優點

（1）能通過對自變量變化過程和函數變化趨勢快速準確的寫出24個極限定義。（2）能恰當給出每個定義的名稱。（3）能通過對自變量變化過程和函數變化趨勢對極限定義有深層次的理解。（4）避免在計算函數極限時只考慮極限符號的一個內容，顧此失彼，混淆各種方法。（5）在比較和探究中學習避免了數學分析學習的枯燥，讓學習活起來。（6）為多元函數的極限的理解奠定了扎實的理解方法基礎。

參考文獻

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