多目標約束的精鍛葉片幾何重構優化算法

馮亞洲，任軍學，梁永收，劉明山

西北工業大學 現代設計與集成制造技術教育部重點實驗室，西安 710072

隨著大飛機的研制對航空發動機葉片高效、精密制造要求的不斷提高，新型航空發動機壓氣機大多采用近凈成形技術制造葉片毛坯[1]。精密鍛造技術就是在此基礎上發展起來的一種少或無切削加工的工藝技術，采用精鍛工藝制造的葉片毛坯，其葉盆、葉背型面的幾何參數滿足設計要求，進/排氣邊部分因曲率半徑小、幾何形狀復雜，無法精確鍛造成形，因而留有余量，需要采用數控加工的方式去除[2]。然而，每個葉片毛坯在鍛造過程中均存在一定的工藝變形，如厚度、扭轉、位置度的變形[3]。導致依據設計模型加工后的進/排氣邊與鍛造葉身無法光滑轉接，且加工后的幾何輪廓難以滿足設計要求。因此，需要采用逆向建模的方法對葉片進行工藝模型重構。

基于逆向工程的自適應數控加工技術集成了數字化檢測、工件配準定位、模型重構等數字化領域中的多項技術，是實現復合制造工藝背景下葉片類零件高效精密加工的一種系統解決方案[4]。隨著數字化檢測技術的不斷提高，學者們[5-6]提出了不同的自適應加工框架與策略，其框架的核心是基于有效測量數據重建工藝模型，進而實現葉片類零件的加工與修復。隨著計算機輔助幾何造型技術(Computer Aided Geometric Design, CAGD)的不斷發展，學者們針對葉片的幾何重構方法取得了許多有價值的研究成果。為了在葉片模型重構過程中更多地考慮設計意圖，Mohaghegh等[7-8]采用多段圓弧代替樣條曲線擬合數據點實現渦輪葉片的模型重構。在后續的研究中，引入幾何連續性約束，提高了重構模型的精度。Dong等[9]計算了一系列圓的圓心作為中弧線，通過中弧線確定葉片截面的輪廓。Zhao等[10]在模型重構的迭代過程中，采用了節點插入算法，提高了FFD算法的精度。上述研究基于完整測量數據的葉片模型重構，然而精鍛葉片進/排氣邊余量分布不均勻，增加了模型重構的難度。

針對部分數據缺失的幾何重構問題，Li和Ni[11]提出一種非剛性配準算法，通過變形名義曲線來擬合數據點，實現數據缺失部分的輪廓補缺。Rong等[12]通過移動模板曲線的控制點，使曲線通過測量的有效數據，進而獲得數據缺失部分的輪廓。Li等[13]提出一種損傷零件的修復策略，對于損傷區域缺失的數據，采用多約束條件下的配準算法對名義模型和測量數據進行最佳擬合的方法進行補缺。上述研究成功地重建了葉身區域數據缺失部分的輪廓曲線。然而，精鍛葉片需要重構進/排氣邊區域的工藝模型，該區域的輪廓曲線通常曲率變化較大且控制點數目較多。若直接采用上述文獻中的修改設計曲線控制點方法，重構的進/排氣邊輪廓曲線的形狀和精度難以保證。對于進/排氣邊區域模型重構的研究，藺小軍等[14]提出采用圓弧搜索的方法，重構精鍛葉片進/排氣邊的輪廓。張艷等[15]提出基于配準算法的進/排氣邊圓弧轉接重構方法。程云勇等[16]采用基于公差約束的橢圓最小二乘迭代擬合的方法重構進/排氣邊輪廓。侯斐茹等[17]通過改變工件做剛性位移的余量優化思路,建立葉身優化模型。上述研究主要針對圓弧或橢圓弧等特殊形狀的葉片進/排氣邊幾何重構。

隨著航空發動機氣動性能要求的不斷提高，壓氣機葉片進/排氣邊的輪廓不再局限于圓弧或橢圓弧形狀，逐漸采用分段樣條曲線設計其輪廓形狀，進一步增加了葉片進/排氣邊幾何重構的難度。針對精鍛葉片進/排氣邊重構過程中的幾何不確定性問題，提出一種面向自適應數控加工的精鍛葉片進/排氣邊幾何重構方案及相關算法。論文的內容結構如下：第1節介紹了精鍛葉片自適應數控加工方案和關鍵算法框架；第2節介紹了配準算法和幾何重構算法的求解過程；第3節通過精鍛葉片自適應數控加工實驗驗證了方案的可行性及算法的可靠性。

1 自適應加工方案

精鍛葉片典型結構如圖1所示。對于精鍛葉片的模型重構，測量數據很大程度上決定著重構輪廓的精度。然而精鍛后的葉片毛坯在進/排氣邊區域有著不均勻的余量分布，導致該區域無法獲得用于模型重構的數據，如圖2所示。由圖3可以看出，如何在滿足設計公差、輪廓形狀、光滑過渡等要求的前提下，重構出精鍛葉片進/排氣邊的輪廓曲線是需要解決的關鍵問題。

針對上述問題，提出一種自適應數控加工方案，如圖4所示。

隨著計算機輔助設計的發展，葉片的參數化設計方法被廣泛應用于航空發動機葉片制造領域[18]，通過定義中弧線與厚度分布構造葉片截面幾何輪廓，如圖5所示。然而，葉片在逆向重構過程中，通常無法直接獲得葉片實際輪廓的中弧線。因此，基于葉片設計意圖，根據葉身截面輪廓的測量數據，需要計算出距離葉盆、葉背相等的曲線，為了與設計的中弧線進行區分，定義該曲線為重構的軸曲線。

葉片在幾何重構過程中遵循由二維曲線到三維曲面的葉片參數化設計原則，即先重構葉片截面曲線進而構造完整工藝幾何模型。通過已知的測量數據和特征信息，自適應幾何重構精鍛葉片進/排氣邊的加工工藝模型。自適應幾何重構算法框架如圖6所示。

2 算法實現

2.1 基于公差約束的配準優化算法

最近點迭代(Iterative Closest Point, ICP)算法是典型的基于表面點集的配準算法，在包含自由曲面的工件檢測中得到了廣泛的應用。該算法的實質是通過求取最小平方和來降低每一次迭代過程中對應點集的平均誤差,以及通過查找最近鄰點來降低每一點對之間的距離。在實際配準的過程中由于缺少約束條件的限制，ICP算法很容易收斂于局部最優解。然而，精鍛后的葉片毛坯和設計模型之間存在不同程度的幾何偏差，導致算法即使收斂，其結果可能存在較大的偏差，無法滿足精鍛葉片自適應加工的要求。而粒子群優化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法是以一個給定的目標在迭代過程中不斷地對結果進行改進，從而實現結果的全局最優，常被用于對目標函數進行求解。因此，需要在ICP算法配準的基礎上，建立基于公差約束的配準目標函數，并采用PSO算法對目標函數進行求解，最大程度地將測量點集約束在設計公差范圍內。

2.1.1 公差約束

以設計模型曲面S為基準，其輪廓上下偏差S1和S2之間所形成區域稱為約束區域，約束區域外的區域為自由區域，如圖3所示。

通過判斷數據點是否位于等距曲面S1與S2之間的區域，來確定該點在配準過程中不同的權值。其中，權因子wi是與點到曲面距離有關的函數，可表示為

(1)

2.1.2 配準優化算法

對于零件測量數據和理論模型的配準問題，就是要找到最優的變換方式，使得目標函數在約束條件下最小。其目標函數為

(2)

目標函數引入約束區域權因子，被定義為待配準模型上的測量數據到理論模型的加權距離平方和。式(2)中點Pi(i=1,2,…,N)為待配準模型上的測量數據，點Pc,i為點Pi在理論模型曲面上的最近點，wi是配準約束區域權因子，矩陣R(Δα, Δβ, Δγ) 為旋轉矩陣, 表示繞3個坐標軸的角度參數;T(Δx, Δy, Δz)為平移矩陣，分別表示沿3個坐標軸的平移參數。通過計算參數(α,β,γ,T0,T1,T2)的最優解，直到目標函數最小。以超差點的比例最小作為目標對ICP算法的配準結果進行優化，優化目標函數為

(3)

式中：參數nout表示配準后超出葉片公差帶范圍的測量點數目；參數n表示用于配準的測量點數目。

2.1.3 目標函數求解

采用PSO算法對上述配準優化目標函數進行求解。PSO算法基于群體智能方法的演化計算技術，主要用來求全局最優解，是一種高效的并行優化方法。PSO算法中選擇沿著坐標軸X、Y、Z的3個平移分量Δx、Δy、Δz和2個旋轉分量Δα、Δβ(參數Δγ可以通過其他5個參數確定)組成粒子群算法的優化目標參數為

GTP=(Δx,Δy,Δz,Δα,Δβ)

(4)

根據式(3)的配準優化目標函數，可以構造出PSO算法的適應度函數為

(5)

PSO算法在實現過程中，通常還需要指定搜索空間，即各個參數變動的范圍。在ICP配準算法的基礎上對結果進行優化，只需給定較小的搜索空間，記為(ui,l,ui,h)，其中1≤i≤5表示5個待優化參數各自的搜索空間。

如圖7所示，通過測量數據與設計輪廓的配準，可以確定進/排氣邊待加工區域的余量分布，從而建立實際鍛造輪廓與設計輪廓的幾何對應關系。基于這種對應關系，可以確定鍛造輪廓的進/排氣邊與葉身型面分界點為Pf,1和Pf,2，設計輪廓進/排氣邊與葉身型面分界點為Pd,1和Pd,2。

2.2 輪廓預測與幾何重構

通過葉身測量數據與設計模型建立軸曲線偏差模型和截面厚度變形模型，預測進/排氣邊部分的變形和厚度偏差，在此基礎上，采用軸曲線變形映射方法重構進/排氣邊的幾何輪廓；通過修改理論模型控制點方法重構截面曲線，葉片截面幾何重構過程中引入最小二乘曲線逼近和應變能變化最小作為約束條件，對重構曲線的精度和光順性進行優化。其過程主要包括2個階段，分別是葉片截面軸曲線的重建和幾何輪廓的重建。第1階段可以概括為兩步：首先計算設計輪廓和鍛造輪廓的軸曲線；其次，預測和重構鍛造輪廓軸曲線的缺失部分。第2階段可以概括為兩步：重構進/排氣邊輪廓曲線；光順輪廓曲線。

2.2.1 缺失軸曲線的預測與重構

軸曲線是由平面內葉盆、葉背曲線的等距點集構造的曲線。對于葉片截面輪廓軸曲線的構造，采用最近點迭代搜索算法進行求解，此處不做展開討論。如圖8所示，計算的設計輪廓軸曲線和鍛造輪廓軸曲線分別表示為Cd和Cf,b，其中鍛造輪廓進/排氣邊區域的余量分布，在軸曲線的計算過程中這部分曲線是缺失的，需要基于兩條軸曲線的偏差趨勢預測缺失軸曲線的目標點，進而將軸曲線Cf,b延拓至目標點。

由于兩條曲線的偏差較小，偏差趨勢是通過曲線Cf,b到曲線Cd的采樣點之間的距離來表示，其中采樣點按照等弧長分布在曲線上。如圖9所示，曲線Cf,b上第i(1≤i≤N) 個采樣點Pd,i到曲線Cd對應的距離為di。為了尋找目標點Pf,e，采用三次樣條插值算法構造距離di與采樣點Pd,i之間變化的偏差函數。將這個偏差函數用于計算曲線Cd端點Pd,e處的偏差距離dr，通過定義端點Pd,e在曲線Cd上的單位法向量Nd,e，軸曲線Cf,b的目標點Pf,e的位置可以表示為

Pf,e=Pd,e+Nd,e·dr

(6)

當計算出目標點Pf,e，需要對缺失的軸曲線Cf,pa進行預測和重構。如圖10所示，曲線Cf,pa的兩個端點分別滿足兩個不同的約束條件。一個端點與目標點Pf,e重合，另一個端點與曲線Cf,b在點Pf,N處滿足G2連續。

定義一條參數為u，4個控制點分別為Q0、Q1、Q2和Q3的Bézier曲線用于表示需要預測和重構曲線Cf,pa，表達式為

Cf,pa(u)=(1-u)3Q0+3(1-u)2uQ1+

3(1-u)u2Q2+u3Q3

(7)

對于上述約束條件，已知曲線Cf,pa的控制點Q3=Pf,e，Q0=Pf,N，則需要求解的控制點Q1和Q2分別表示為

(8)

式中：點Pf,N、P1和P2分別為曲線Cf,b的控制點；參數α和γ為形狀系數，決定了曲線Cf,pa的幾何形狀。對于參數α和γ的求解，采用能量法進行約束，文獻[19]中曲線應變能被表示為

(9)

合并式(8)和式(9)，那么求解參數α和γ的目標函數可以被表示為

(10)

式中：矩陣Aα, γ, u=[u-α+γ(1-3u) -α2(1-3u)]，BP=[Pf,e-Pf,NPf,N-P2P2-P1]T。為了提高預測曲線的光順性，采用曲線Cf,pa的應變能最小對目標函數進行求解，求解方程被表示為

(11)

將目標函數式(10)代入到式(11)，可以計算出參數α和γ的值。將α和γ代入到式(8)中，計算出曲線Cf,pa的未知控制點Q1和Q2，進而得到需要預測和重構的缺失部分軸曲線Cf,pa。

2.2.2 幾何輪廓重構與光順

為了提高進/排氣邊輪廓的預測精度，采用基于軸曲線變形映射的方法重構葉片輪廓。通過建立葉身輪廓的變形函數，預測出進/排氣邊輪廓的變形量，并引入到變形映射模型中，進而重構出葉片進/排氣邊輪廓曲線。

本節所采用的映射關系是基于2.1節配準結果的對應關系建立的。假設曲線Cd上的一個采樣點為Pda,i，其單位法向量為Nda,i可以通過曲線表達式計算。則曲線Cf上的對應點為Pfa,i，其單位法向量為Nfa,i。同理，設計輪廓曲線上的對應點為Pdp,i，單位法向量為Nda,i。則設計輪廓在點Pda,i處的葉片厚度Li=|Pdp,i-Pda,i|。那么，重構曲線上的映射點Pmp,i可以被表示為

Pmp,i=Pfa,i+|Pdp,i-Pda,i|Nfa,i

(12)

精鍛葉片葉身部分的輪廓厚度可能存在不同程度的變形。為了適應葉身的變形趨勢，重構曲線的厚度需要調整。通過對比鍛造輪廓與設計輪廓的厚度變化，建立用于評價變形趨勢的厚度變形函數，進而預測出進/排氣邊上各點的厚度變化。評價函數的建立方法與2.1節中偏差函數類似，此處不再重復。將厚度變化代入到式(12)中，得到重構曲線上點Pmp,i新的位置信息。對所有的采樣點執行該步驟，直到重構的輪廓曲線Cf,re可以被點Pmp,i計算并表示，如圖11所示。

如圖11所示，重構的輪廓曲線Cf,re與設計輪廓曲線對比可能存在不光順的情況，而進/排氣邊幾何形狀的變化，直接影響航空發動機的氣動性能，因此需要對其進行光順重構。對于曲線的光順性，較為公認的光順準則[20]：① 二階幾何連續；② 沒有多余拐點；③ 曲率變化較均勻；④ 應變能較小。考慮到設計輪廓曲線直接反映葉片的設計意圖，在輪廓曲線的重構過程中，采用修改設計輪廓曲線控制點的方法逼近重構的輪廓點Pmp,i。在設計曲線的修改和逼近過程中，建立應變能變化最小目標函數，使新構造的輪廓曲線Cf,sr滿足光順性和幾何相似性要求，如圖12所示。

定義設計輪廓曲線Cdp是一條三次樣條曲線，曲線參數為v(0≤v≤1)，控制點為Pi(0≤i≤n)，三次樣條基函數為Ni,3(v)。那么該曲線可以被表示為[21]

(13)

當曲線Cdp的控制點Pi被修改，且改變量為ΔPi時。重構的輪廓曲線可表示為[21]

(14)

考慮到重構曲線的光順性與幾何相似性要求，基于曲線應變能偏差最小建立光順目標函數為

(15)

由式(15)可以看出，采用單一目標函數ΔEmin對重構曲線Cmp進行光順，雖然可以獲得與設計曲線Cdp近似的幾何輪廓，但是該輪廓與點Pmp,i之間可能出現較大的偏差。為了滿足光順后的重構曲線Cmp盡可能地逼近點Pmp,i，引入最小二乘誤差作為目標函數。該函數被表示為

(16)

因此，合并后的多目標函數Fmin可以被表示為

Fmin=min((1-ω)ΔD+ωΔE)

(17)

式(17)中權重系數ω的取值大小與曲線的參數有關，此處根據曲線重構的設計要求對其賦值。對于多目標函數Fmin的求解采用求偏導的方法:

?Fmin/?(ΔP)=0

(18)

將式(17)代入式(18)，則目標函數求解的矩陣表達式可以表示為

(19)

式中:R為一個(K+1)×1 矩陣，其中第k個元素為Rk=Pmp,k；N為一個(K+1)×(n+1)矩陣，其第k行i列的元素為Ni,3(vk)；vk為曲線Cmp上一點的參數，且該點是點Pmp,k到曲線Cmp的最近點。通過分配權重系數ω，求解出曲線每個控制點Pi的改變量ΔPi。將求解的改變量ΔPi代入式(14)，獲得光順后新構造的輪廓曲線Cf,sr，如圖12所示。最終對重構的不同截面曲線采用放樣方法生成完整的輪廓曲面用于葉片的自適應加工。

3 應用與實驗

3.1 系統開發

自適應數控加工系統采用模塊化的方式進行開發，包含5個主要的模塊：測量模塊、配準模塊、模型重構模塊、數控加工模塊和輔助功能模塊。其中各個模塊所實現的功能如圖13所示。該系統在UG NX通用軟件上采用C語言開發，通過UG Open/API接口與UG NX進行集成。在該系統平臺上，通過調用UG建模、圖形顯示以及基本幾何圖形算法等，實現了各種關鍵技術的有機集成。

3.2 加工實驗

某型號航空發動機精鍛葉片被用于驗證提出的方案和算法，精鍛葉片材料為Ti-6Al-4V，這是一種在航空發動機工業中廣泛使用的鈦合金材料。葉片的長和寬大約為55 mm和35 mm，平均厚度為0.6 mm。葉片在數控加工過程中，采用在機測量的方式很大程度上減少了工件重復裝夾帶來的誤差，而非接觸測量相比較傳統的接觸式測量一定程度上提高測量的效率，同時避免接觸式測頭半徑補償帶來的誤差，需要注意的是非接觸測量機的測量精度容易受到切削液、環境溫度等因素的影響。考慮到測量效率在自適應加工中的重要性，實驗采用非接觸在機測量系統(303LP-A)在五坐標葉片加工中心(XKH800)上完成葉片數據點的采樣，其中光學測頭精度為20 μm，掃描模式下測量速度最大為4 200點/分鐘。如圖14所示，系統中的光學測頭通過刀柄與機床主軸連接，能夠實現加工過程中的自動換刀，同時測量的結果通過無線傳輸的方式傳輸到工作站進行實時分析和幾何重構。

精鍛后的葉片毛坯在自適應數控加工之前，需要以葉身進行定位，在葉片榫頭鍛造余量較大的位置加工出一個方形基準，并以該基準作為葉片的測量基準。通過測量方形基準，建立葉片的測量坐標系，進而對規劃的待測點進行測量。測量的數據需要與設計模型在公差約束條件下進行配準定位，進一步提高數據的匹配精度。2.2節中提出的幾何重構算法是遵循葉片二維截面到三維模型的設計原則，而配準后的測量數據與設計截面可能不在同一平面內，因此需要依據設計截面提取幾何重構所需的截面點。此處采用點-面-線-點的方式進行截取。首先采用三次樣條函數將配準后的測量數據分別擬合成葉背和葉盆曲面[20]。其次，按照葉片設計模型的截面高度在擬合的葉盆和葉背曲面上分別截取不同高度的截面曲線。最后，采用離散的方法將截面線轉換成幾何重構所需的截面點。

3.2.1 配準結果分析

葉片進/排氣邊輪廓的設計公差要求為下偏差-0.03 mm，輪廓上偏差0.05 mm。測量數據點數目為180個，采用ICP算法配準總計迭代100次，過程耗費的時間約為20 s，配準結果有25個超差點，配準過程中3個平移分量和3個旋轉分量隨著迭代次數的變化規律如圖15和圖16所示。

可以看出ICP算法迭代到100次的時候6個變量幾乎趨于穩定，表明ICP算法已經收斂，但是此時仍然有25個數據點處于公差帶范圍之外。采用PSO配準優化算法對ICP算法的配準結果進行優化，迭代到第266次時超差點個數降低到14個。結果表明PSO算法能通過對給定的可能性空間進行搜索使得更多的點處于公差帶范圍之內，配準精度要優于ICP算法。實際工程應用中，當毛坯和理論模型不一致時，采用PSO算法對ICP算法的結果進行優化，能夠進一步提高配準定位的精度。

3.2.2 進/排氣邊幾何重構

根據提出的自適應幾何重構算法，分別預測和重構精鍛葉片進/排氣邊的9個截面輪廓。選取其中一個截面作為例子來顯示結果。這條截面線由一個三次樣條曲線表示，有18個控制點。實現這個截面重構算法的總運行時間為317.72 s。需要指出的是，該算法的效率與控制點數量密切相關。圖17比較了該截面進氣邊的設計輪廓、鍛造輪廓、重構輪廓和光順后的輪廓。可以看出，盡管精鍛葉片的厚度大于設計模型，幾何重構的光順輪廓依然位于毛坯余量中，并與設計輪廓相似。

根據上述算法重構的進/排氣邊輪廓，自適應規劃加工刀位軌跡，如圖18所示。在五坐標數控加工中心完成精鍛葉片的數控加工，如圖19所示。圖20可以看出精鍛葉片葉身型面被精鍛成型，不需要加工。而進/排氣邊部分的鍛造余量已經被去除。

為了評價實驗結果，將加工后的精鍛葉片在三坐標測量機(Brown & Sharp 121510)上進行檢測，并使用葉片專用評價軟件(BLADE)對檢測數據進行分析。檢測結果如圖21所示，標注的兩個線框分別描述加工后的進/排氣邊厚度偏差和輪廓度偏差，其檢測結果均滿足設計公差要求。需要說明的是，對于葉身部分的局部超差，與葉片毛坯質量有關，配準過程中存在超差點。該部分不需要進行數控加工，不是本文所關注的問題。

4 結 論

1) 建立基于公差約束的配準算法目標函數，并采用PSO算法對配準結果進行優化，提高了測量數據與設計模型的配準精度。

2) 提出基于葉片變形趨勢延拓的幾何重構算法，預測出了進/排氣邊數據缺失部分的幾何輪廓。

3) 建立多約束條件下的幾何重構目標函數，光順重構出了輪廓曲線且滿足幾何相似性要求。在此基礎上，完成自適應加工實驗，檢測結果滿足設計公差要求。