例談對稱性法

王林

《數學》七年級北師大版頁有一道題：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A，B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？

分析：本題所用的方法是找到A關于街道的對稱點后，利用兩點之間線段最短，連接BA1交街道于P，此時AP+BP最短.同樣的方法找B的對稱點也是一樣的.這種方法我們可以歸納為：對稱性法.

在我們學習的過程中，這樣的問題通常有以下的六種變式拓展：

一、直接求這個動點到兩個定點的距離的最小值.

例1、如圖，在正方形ABCD中，點E是BC上的一個定點，且BE=10，EC=14，點P是BD上的一動點，則求：PE+PC的最小值.

解：C關于BD的對稱點恰好是點A，連接AE交BD于P，連接PC，此時PE+PC最小，

求這個動點的坐標.

例2、如圖，平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（2，-3）、B（4，-1），若

P（，0）是x軸上的一動點，則當=__________時，△PAB的周長最小.

解：取A關于軸的對稱點（2，3），連接交軸于P，連接PA，此時的周長最小，易得的直線為，可得=.

三、求當四邊形的周長最小值時動點的坐標。

例3、由例2的已知條件不變，若C（，0），D（+3，0）是x軸上兩動點，則當=______，四邊形ABDC的周長最小.

解：平移CD到BE，此時E（1，-1），取E關于的對稱點（1，1），連接交軸于C，連接CE，過B作CE的平行線交軸于D，此時四邊形ABDC的周長最小.易得AE1的直線方程為，得.

四、求當四邊形的周長為最小值時，兩個動點的坐標.

例4、在直角坐標系中，已知：兩點A（-8，3），B（-4，5），以及兩動點C（0，n），D（m，0），當四邊形ABCD的周長最小時，則m=__________，n=_____________.

解：取A關于軸的對稱點（-8，-3），B關于軸的對稱點（4，5），連接交y軸于C，交軸于D，連接BC，AD，此時四邊形ABCD的周長最小，易得的直線方程為，得.

五、求兩個動點到一個定點的線段和的最小值.

例5、在銳角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45?，BD平分∠ABC，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值為____________.

解：過C作BD交AB于，此時C與關于BD對稱，過作N⊥BC于N，連接CM，此時利用垂線段最短，可得CM+MN最小，.

六、求兩條線段的差的最大值.

例6、已知：A（2，3，）B（5，-2），在x軸上是否存在一點P，使的值最大，則P的坐標為__________.

解：取B關于x軸的對稱點，連接AB1交x軸于P，若分別在P的左，右兩邊，則一定有，只有當P在直線AB1上，此時有，這時最大，可得AB1的方程為，

P（11，0）.

即時練習：

（一）如圖，在五邊形ABCDE中，已知∠BAE=120?，∠B=∠E=90?，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC，DE上分別找一點M、N，若要使△AMN的周長為最小值時，則△AMN的最小周長為________.

（二）如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知M（0，1），E（，0），F（+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點，△PCM是以CM為底的等腰三角形，則點P的坐標為____________；當=_______時，四邊形PMEF的周長最小.

（三）菱形OBCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B（2，0），∠DOB=60°，點P是對角線OC上一個動點，E（0，﹣1），當EP+BP最短時，點P的坐標為_____________ .

（四）在平面直角坐標系中，x軸上的動點M到P（5，5），Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么MP+MQ取最小值時，則：M的坐標是_____________.

（五）如圖，正比例函數與反比例函數在第一象限的圖象交于點，過點作軸的垂線，垂足為，已知的面積為1.

1.求反比例函數的解析式；

2.如果為反比例函數在第一象限圖象上的點（點與點不重合），且點的橫坐標為1，在軸上有一點，使與的差最大，求點P的坐標.

即時訓練答案：1、42、3、 4、M（，0）

（六）1.反比例函數的解析式為

2.點為（，）