挖掘分類標準，走好分類討論第一步

江蘇省鎮江市丹徒高級中學 宗麗華

所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需對研究對象按某個標準分類，然后對每類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答。

分類討論思想是高中數學中的一種重要數學思想，由于它能訓練和培養思維品質的條理性和概括性，因此是高考重點考查的思想方法之一。明確分類標準，是準確解決分類討論問題的前提，分類標準的確定類型主要有三種：一是根據數學概念來確定分類標準；二是根據數學中的定理、公式和性質確定分類標準；三是根據運算的需要確定分類標準。

一、根據數學概念來確定分類標準

例如，根據集合元素的性質；空集是任何集合的子集；去絕對值需要分正數、零和負實數三類情況討論等。

二、根據數學中的定理、公式和性質確定分類標準

例如，在學習指數函數時，讓學生認識到指數函數 的單調性因底數a的取值范圍不同而不同，即：當a＞1時， 在定義域內為增函數；當 0＜a＜1 時， 在定義域內為減函數。再比如，在利用錯位相減法推導等比數列前n項和公式時，要讓學生認識到求和公式是受到公比q限制的，即：當q＝1時， ；當q≠1 時，

例3 已知等差數列{an}的前3項和為6，前8項和為－4。

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設bn＝（4－an）qn－1（q≠0，n∈N＊），求數列{bn}的前n項和Sn。

三、根據運算的需要確定分類標準

參數廣泛地出現在數學的各種問題之中，參數的存在會對問題的解決產生種種影響。一個問題中的參數通常可以取幾個不同的數值，而在不同取值情況下，所采用的解決策略和處理方式都不盡相同，因而會產生不同的結果，這就要求我們必須對參數取不同值時的各種情況分別加以討論。比如在習題教學中，含有參數的方程、不等式等問題是比較常見的。

分析：首先這是一個含參數a的不等式，學生很容易認為是一個二次不等式，實際上不一定。因為二次項系數是含參數的，取值不同使不等式類型發生變化，故需要對二次項系數a分類：（1） ；（2）a=0。對于（2），不等式易解，而對于（1），又需要再次分類：

或 ，因為這兩種情形下，不等式解集的形式是不同的。不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間，而確定這一點之后，又會遇大誰小的問題。因而又需要做一次分類討論。故而在解題時，需要做三次分類討論。

總之，分類討論思想能夠促使學生全面而周密地分析和思考問題，有助于提高思維的邏輯性和嚴謹性。因而，在教學中對分類討論思想進行教學滲透時，指導學生挖掘分類標準，可以優化學生的思維品質，提高學生的數學能力，達到事半功倍的效果。