數形結合思想方法在高中數學解題中的運用

福建省福清市華僑中學 張友家

著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休。”由此可見，“數”與“形”之間的關系是非常密切的。數形結合是將抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系相結合，便于學生快速解決數學題。在解答集合、函數、方程與不等式、三角函數、線性規劃、數列、立體幾何等方面的數學試題中，常常用到數形結合的思想方法。

一、數形結合思想在高中數學解題中運用的必要性

高中數學課堂上，“滿堂灌”“填鴨式”的教學方法束縛了學生的思維，學生被老師“牽著鼻子走”，他們缺乏自主思考的能力，當然，也不利于培養學生的創新思維、發散性思維。為此，高中數學教師應結合新課程改革的要求，靈活轉變教學方法，將數形結合這一方法運用到數學解題中，使學生掌握數形結合法的內涵，并能在解題中靈活運用數形結合。通過分析數學例題，尋找解決數學題目的有效方法。我們發現將數與形相結合，有助于學生將抽象的數學問題形象化、直觀化。面對數學題時，學生不再畏懼、害怕，而是能迎難而上，從而增強學生的成就感和自信心，使得每位學生主動參與到數學解題中，提高自身的思維能力以及分析問題和解決問題的能力。

通過分析歷年來的高考試題，發現很多數學試題都需要利用數形結合思想，數形結合思想作為一種重要的解題方法，其將幾何圖形與代數知識相結合，使代數知識形象化、直觀化，增加了數學知識的趣味性，提高了學生的學習效率、解題效率。

二、數形結合思想在高中數學解題中的運用策略

1.以數解形，用代數方法解決幾何問題

“數”與“形”的關系是對應的，有些數量較抽象，很難把握，而“形”具有直觀性、形象性的特點，能表達具體思維。有些較復雜的“形”，不但要正確把圖形數字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析計算。

例1 如圖，三角形ABC的三邊分別切拋物線于D，E，G。F是拋物線的焦點。證明：A,B,C,F四點共圓。

解：設拋物線的方程為T：x2=2py，則有G(2pa,2pa2),E(2pb,2pb2),D(2pc,2pc2)，

三條切線方程為2ax-y-2pa2=0,2bx-y-2pb2=0,2cx-y-2pc2=0，

聯立解得：A(p(b+c),2pbc),B(p(a+c),2pac),C(p(a+b),2pab)，

故△ABC的外接圓方程為LALB+λLBLC+μLCLA=0。

其中，LA,LB,LC是三條切線方程的左邊的式子。

展開外接圓方程整理得：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，

因為該方程表示圓，故A=B∧C=0，

這道題要求學生求證A,B,C,F四點共圓，求證中，學生思考怎樣確定圓的方程式，如果將A,B,C,F四點都能代入圓的方程中，則表明A,B,C,F四點共圓。這一解題思路運用了代數法，將幾何問題轉換為代數問題。

在平時解題中，看到此類型題目，學生會“一頭霧水”，他們不知道如何下手，毫無解題思路，盡管始終分析圖形，但是用幾何法找不到解題的突破口。此時，學生應靈活運用數形結合的思想方法，結合圖形，并結合之前所學的代數知識，利用代數知識解決該題，將幾何問題轉化為代數問題，無形中提高學生的解題能力。

數學學科不同于其他學科，僅僅依靠死記硬背，學生不能快速、準確地解決數學問題。數形結合方法在數學解題中的運用，使得學生的思維不再受到單一“形”或“數”的束縛，而是在兩者之間互相“轉化”，使得問題的解決變得容易可行。

2.以形助數，用幾何方法解決代數問題

形具有形象、直觀的優點，解決數學題時，要認真分析題目中的已知條件，將數量問題轉換為圖形問題，并通過分析圖形、推理最終解決數學問題的方法。從本質上來講，以形助學是以數量結構特征為依據，構造幾何圖形，轉化為幾何問題，順利解決問題。“以形助學”的解題思路在于：明確題目中所給定的條件和所求的目標，從題中的已知條件或者結論出發，先觀察分析其是否類似于已學過的基本公式、定理或圖形的表達式，再做出與之相適合的圖形，最終找到解決問題的方法。

通常情況下，解類似題時，學生不愿意動手畫圖，他們只是根據已知條件求得最終的答案。沒有幾何圖的輔助，整道題做起來并不簡單，學生無法在腦海中想象出動點的軌跡，解題的效率、準確率都不高。對此，在解題過程中，學生要認真分析題中所給定的已知條件，尋找已知條件中的數量關系，并繪制幾何圖，將數量關系通過幾何圖呈現出來，順利解決數學問題。

從本質上來講，數形結合思想是將抽象的數學語言與直觀圖形相結合，關鍵是代數問題與幾何問題之間的相互轉化，使得代數問題幾何化、幾何問題代數化。數學解題中運用數形結合思想方法時，要注意以下幾點：一是明白概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，分析數學題目中條件和結論的幾何意義和代數意義；二是構建關系，加強數與形的聯系，完成數形轉化；三是明確參數的取值范圍。當明確以上幾點后，教師應引導學生巧用數形結合思想，提高他們的解題能力。