深入挖掘課程資源——讓數學例題活起來

新疆烏魯木齊市第五中學 劉 艷

人教版八年級下冊第十八章中，平行四邊形的判定中的一道數學例題，不僅證法多樣，而且包含多種條件變式、結論變式和圖形變式，通過變式可以衍變出許多美妙的題目，對于培養學生的靈活思維起到了很好的作用。

已知：平行四邊形ABCD，E，F是AC上的兩點，并且AE＝CF，如圖1。

圖1

求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

一、一題多證

證法一：利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形來證明。連接BD，

證法二：利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形來證明。

證法三：利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來證明。

證法四：利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形來證明。

證法五：利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形來證明。

其他三種證明過程省略，本題可使用平行四邊形的五種證明方法。其中，添加對角線，并應用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形的證明方法最為簡便。本題的證明由已知平行四邊形的性質得到線段相等、角相等以及利用直線平行推出角相等，再與題目中`的其他已知條件結合起來，可以證明另外的四邊形是平行四邊形。以此類推，對平行四邊形的性質和判定得以循環應用。在證明本題時，我們反復應用了三角形全等這一舊知識，數學的學習通常都是用舊知識來解決新問題,三角形是學習多邊形的基礎，很多多邊形的問題都要借助三角形來解決。

二、一題多變

1.條件變式

將題目中的“AE＝CF”這一已知條件去掉，變為當E，F滿足什么條件時，可證明四邊形ABCD是平行四邊形？

變式（1）是用運動的觀點將AE＝CF這種一般情況轉變為特殊情況。

變式（2）利用全等三角形證明，由ABCD得出證明全等條件是一邊一角，可添加一對邊相等的條件。（如原題與變式（1））也可添加一對角相等的條件。（變式（2））

2.結論變式

（1）由平行四邊形BFDE進一步引出直線平行、線段相等、角相等。

（2）由證明過程中的全等三角形可得出線段相等、角相等。

這樣可使學生重復使用平行四邊形的性質和判定，加深對知識的理解和應用。

圖2

圖3

圖4

圖5

3.圖形變式將已知條件中的E，F是AC上的兩點變換成：（1）E，F是AC的延長線上的兩點，如圖2。（2）E，F是一組對邊上的兩點，如圖3。

（3）E，F是一組對邊的延長線上的兩點，如圖4。

（4）E，F是過對角線交點的直線與一組對邊的兩交點，（這種情況不用AE＝CF這一條件就可證明結論）如圖5。

如上圖所示,將圖形變形之后，還可以對這些變形后的圖形進行條件和結論變式，又可以得到相關的許多題目。

在教學中，本例題可作為平行四邊形的性質和判定的綜合應用。本堂課是這樣設計的：（1）復習平行四邊形的性質和判定；（2）講授例題，讓學生自主探索例題的五種證明方法，比較之后從中得出最為簡便的證明方法。這樣有利于提高學生靈活應用知識的能力。教師可將其中較為簡便的兩種證明方法示范給學生，或把學生分為五組，每組可用一種證明方法。通過實踐,讓學生體會平行四邊形的性質和判定的綜合應用以及應用三角形全等來解決四邊形的問題。（3）通過對例題的條件和結論變式來培養學生大膽猜想、嚴格推理、勇于實踐和歸納總結的能力。本環節的設計目的在于提高學生的數學思維能力。（4）可將此題的“圖形變式”這一環節設計成學生練習，把學生分為四組，證明四種圖形變形，讓學生從中體會它們的證明方法與例題的證明大同小異,雖然圖形發生了變化,但是思維結構并沒有發生變化，從而達到“以不變應萬變”的效果。（5）作業的設計可讓學生課后對這四種圖形變式再進行條件和結論變式，自己出題自己證明。

對于教材中的例題和習題，通過適當的變換，或改變題型，或改變條件和結論，或改變圖形的位置，或引申拓展，讓學生去探究、猜想，以培養學生的創造性思維。對學生數學思維的培養是一種探究性的活動，具有一定的規律和方法，在探索中，這些規律和思維方法的實踐和領悟，必然會對學生智能的開發和數學思維的發展具有重要的推進作用。

綜上所述，在教學過程中，教師應當給學生創設更多的條件與機會，讓他們參與其中,而這些條件和機會的創設需要教師不斷挖掘課本的內容，充分利用課程資源，讓學生更好地掌握解題方法，最終達到“它山之石可以攻玉”的目的。比如對本道題的講解與探究，基本上解決了平行四邊形的性質與判定的相關題型。