初中幾何“梯形”教學中的輔助線作法分析

江蘇省海安縣大公鎮初級中學 鐘 卿

梯形在初中幾何中是較為特殊的圖形，可以轉化為平行四邊形或者是三角形的相關問題，但是，在具體證明或解答時卻不容易直接找到連接已知條件與結論之間的關系，因此，需要添加一定的輔助線來連接條件與結論。不同形式的梯形的輔助線添加方式也不同，需要做到具體問題具體分析。

一、梯形輔助線制作方法

（一）平移法

1.平移腰

例1：如圖1，在等腰梯形ABCD當中，AD∥BC，AB=CD，∠C=60°，AD=15cm，BC=49cm，求CD。

圖1

解：過D點作DE∥AB交BC于點E，則根據平行四邊形的定義可得：四邊形ABED為平行四邊形，所以，AD=BE=15cm，AB=DE，且EC=BC-BE=BC-AD=49-15=34cm。又因為AB=CD,所以DE=CD。因為∠C=60°，所以△CDE為等邊三角形，所以CD=EC=34cm。

總結：如果經過梯形的上底或者是下底的其中一個端點，可以作梯形一個腰的平行線，就可以將梯形轉化為一個三角形和一個平行四邊形，這就是平移腰的基本做法。

2.平移對角線

例2：如圖2，在梯形ABCD當中，AD∥BC,AC=15cm,BD=20cm,DH為梯形的高，高為12cm，求梯形ABCD的總面積。

圖2

解：可以過點D作DE∥AC,交BC的延長線于點E，四邊形ACED為平行四邊形，因此，△ABD、△ACD、△DCE的面積都相等。所以，梯形ABCD與△DBE的面積相等。根據勾計算為：所以，梯形的面積為150cm2。這就是平移對角線的具體做法，這種輔助線的作法是比較常見且解題較為容易的方法之一。

（二）延長兩腰

例3：如圖3，在梯形ABCD當中，AD∥BC,∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD。

圖3

解：延長腰BA與腰CD交于點E，在△BCD當中，∠B=50°，∠C=80°，所以，∠E=50°，所以△EBC為等腰三角形，BC=EC=5。同理可得AD=ED=2，所以，CD=EC-ED=5-2=3。

可見，將梯形的兩個腰延長，交于一點，可以將梯形轉化成三角形，然后進行計算和證明。

（二）作梯形的高

例4：如圖4，在梯形ABCD中，∠C=60°,∠B=45o，AD∥BC,AD=3，DC=6，求梯形ABCD的面積。

圖4

解：過點A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC,垂足分別為E、F，在Rt△DFC中，因為∠C=60°，所以∠FDC=30°，所這就是作梯形腰的具體做法。

（三）構造全等三角形

例5：如圖5，在梯形ABCD當中，AD∥BC,點M、N分別是腰AB與DC的中點，求證：

證明：連接AN并且延長，交BC的延長線于點E，因為DN=CN,∠1=∠2，所以△ADN≌△ECN，所以AN=EN,AD=CE,又因為AM=MB，所以MN是△ABE的中位線，所以MN∥BC,MN=BE。因為BE=BC+CE=BC+AD，所以

利用梯形的底和腰的中點構成三角形，可以將梯形直接轉化為三角形來進行解析。

二、作梯形輔助線的意義

在初中幾何學習中，梯形是比較重要的一個學習內容。通過作輔助線，可以將梯形轉化成不同的圖形，進而通過對平行四邊形和三角形的解析可以直接證明梯形的相關性質，而且了解初中幾何中梯形輔助線的作法更可以為高中或者是大學時期的學習奠定基礎。

總而言之，在解析幾何當中，梯形是比較特殊的圖形，作好輔助線有助于學生明晰圖形構造。輔助線的添加將梯形問題轉化為平行四邊形或者三角形問題，使得輔助線起到了一定的橋梁作用。通過總結初中幾何中梯形添加輔助線的幾種方法，既可以提高解題效率，又可以培養初中生的發散思維。