向量的線性相關性在線性方程組求解中的應用

上海電機學院數理教學部 劉美玲

向量組的線性相關性理論是線性代數課程的重要組成部分，對于線性方程組的求解有很好的輔助功能。然而本概念是該門課中最抽象、最難理解的部分之一，出于課程體系的完整性和后續學習的需要，很多學生學完了該課程，但對線性關系依然是知之甚淺，因此打擊了一些學生學習該門課程的信心，喪失了對該門課程的興趣，對后面能否求解線性方程組產生了懷疑。為此，在多年的教學實踐中，必須思考如何用通俗的語言來生動形象地表達這些枯燥的概念和定理。應用類比法，則可以讓學生對這些抽象概念感到熟悉、感到親切，從而容易接受和理解。

一、線性相關性和線性方程組

線性方程組：

可以用向量形式表示為：

對應的齊次方程組：

可以用向量形式表示為：

由此，方程組是否有解轉變為能否找到一組數 ，使（1）式成立。

則稱向量組線性相關，否則稱線性無關。

由線性相關性的定義可知，對應的向量組線性相關即表示齊次線性方程組（3）有非零解；線性無關則只有零解。這里要向學生解釋，方程（5）中向量組線性組合的系數 就代表方程組的解。

二、定理及舉例

定理1 設向量組 線性無關，而向量組線性相關，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式唯一。

定理1說明線性方程組（1）有解可以表達為向量b能由向量組A線性表示，表示法唯一即表示只有唯一解。

該方程組的系數行列式

因此，方程組只有零解 ，所以向量組 線性無關。

例1題目簡單明了，著重向學生講解明白向量組合可以表示成方程組，具體顯示了向量組的線性相關性和線性方程組的求解的直接關系。

因向量組A線性無關，所以上方程組只有零解，從而B相應的方程組也只有零解，即線性無關。

定理2有些抽象難懂，講解證明過程時充分解釋將向量組合展開成方程組，即轉換為了方程組的解的問題，簡潔明了，生動易懂。

經過多年的教學實踐證明，從調整教學內容結構、合理使用教學方法、讓學生正確區分線性相關、線性表示與線性方程組的關系，注重知識的應用及結合數學軟件解決實際問題，并增加應用性練習等幾個方面進行教學，在提高教學質量和教學效果的同時，也教會了學生如何不斷擴充自己的知識結構和體系，提高了他們的自學能力和可持續發展的能力。