改進(jìn)Laplace小波字典在軸承故障診斷中的應(yīng)用

李景樂，謝馨，王華慶

(北京化工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100029)

稀疏分解與稀疏表示的理論由MALLAT提出，并廣泛應(yīng)用于故障診斷領(lǐng)域[1]。稀疏表示方法中合適的原子及字典結(jié)構(gòu)能夠極大地提升字典構(gòu)造和稀疏表示的效率。滾動(dòng)軸承的局部故障會(huì)產(chǎn)生周期性的沖擊，從而在其振動(dòng)信號(hào)中表現(xiàn)出周期性的瞬態(tài)沖擊成分，軸承故障引起的瞬態(tài)沖擊一般表現(xiàn)為周期振蕩的指數(shù)衰減形式[2]。文獻(xiàn)[3]提出了Laplace小波的數(shù)學(xué)表達(dá)式并驗(yàn)證其對(duì)故障沖擊特征提取的有效性。文獻(xiàn)[4-5]將相關(guān)濾波法結(jié)合Laplace小波運(yùn)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷，有效地提取出了滾動(dòng)軸承故障特征，充分驗(yàn)證了基于Laplace小波原子庫的稀疏表示方法在滾動(dòng)軸承故障診斷中的可行性。然而，通過傳統(tǒng)相關(guān)濾波法構(gòu)造的過完備原子庫必須涵蓋相位、阻尼系數(shù)及衰減頻率信息，字典的規(guī)模異常龐大，導(dǎo)致運(yùn)算速度緩慢甚至算法無法運(yùn)行。

綜上所述，采用一種新的字典構(gòu)造方式，通過改進(jìn)的相關(guān)濾波法選取合適的Laplace原子，并經(jīng)過Toeplitz矩陣拓展構(gòu)造完備字典；稀疏系數(shù)的求解則選用優(yōu)化的正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)。通過相關(guān)濾波篩選阻尼和振蕩頻率，以及字典中的原子表示相位，在縮減字典規(guī)模的同時(shí)，可以更直觀和準(zhǔn)確地找到合適的原子，得出稀疏系數(shù)能直接體現(xiàn)沖擊的相位，從而準(zhǔn)確地提取出故障特征頻率。

1 稀疏表示及Laplace字典構(gòu)造原理

一維信號(hào)的稀疏表示模型可以表示為

y=D×x+ε，

(1)

式中：y為N×1維的原信號(hào)；D為N×N維的字典；x為N×1維的稀疏系數(shù)；ε為N×1維的噪聲信號(hào)[1]。

恒定轉(zhuǎn)速下，滾動(dòng)軸承的局部故障通常會(huì)引起周期性的沖擊，一般表現(xiàn)為周期性的單邊振蕩衰減波形。Laplace小波是一種單邊振蕩衰減的復(fù)指數(shù)小波，比較符合滾動(dòng)軸承的沖擊形式，考慮到滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)為實(shí)信號(hào)，故將Laplace小波的實(shí)部作為稀疏表示的特征原子，Laplace小波實(shí)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

式中：A為歸一化小波函數(shù)的系數(shù)；f為振蕩頻率；ζ為阻尼系數(shù)。

Laplace小波與沖擊信號(hào)特征相似，所以兩者的相關(guān)系數(shù)高，而Laplace小波與噪聲及其他信號(hào)的相關(guān)系數(shù)低，找到合適的Laplace小波就能夠準(zhǔn)確的識(shí)別沖擊信號(hào)。因此，提出基于自適應(yīng)相關(guān)Laplace字典的構(gòu)造方法，構(gòu)造出能較好表達(dá)滾動(dòng)軸承故障特征的字典，并且運(yùn)用高效的OMP算法[6]從原信號(hào)中提取能夠表示沖擊特征的稀疏系數(shù)，并通過提取的稀疏系數(shù)進(jìn)一步分析信號(hào)的故障信息。算法的具體流程如下(圖1)：

圖1 改進(jìn)Laplace小波字典方法流程圖Fig.1 Flow chart of improved Laplace dictionary

1)截取適當(dāng)長(zhǎng)度的軸承振動(dòng)信號(hào)，通過快速Fourier變換尋找可能的振蕩衰減頻率范圍，由經(jīng)驗(yàn)確定阻尼參數(shù)的范圍，在此選定原子長(zhǎng)度為1/10的信號(hào)長(zhǎng)度；

2)分別設(shè)定振蕩頻率增量Δf及阻尼參數(shù)增量Δζ，得到變量范圍內(nèi)的m個(gè)頻率值和n個(gè)阻尼系數(shù)值，代入小波表達(dá)式中得到m×n個(gè)不同的Laplace小波，并對(duì)每個(gè)小波做能量歸一化處理；

3)分別求取這些小波與原信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)，記錄每組互相關(guān)函數(shù)的最大值；

4)取出步驟3記錄的所有最大峰值中的最大值，其對(duì)應(yīng)的頻率及阻尼系數(shù)即為與原信號(hào)最相關(guān)的Laplace小波的參數(shù)；

5)由步驟4得到的參數(shù)構(gòu)造Laplace小波原子，并展開成Toeplitz矩陣，此矩陣即為稀疏表示的完備字典，且其特殊的字典構(gòu)造使其每一列即對(duì)應(yīng)原信號(hào)中沖擊的一個(gè)相位；

6)通過高效OMP算法求出原信號(hào)在完備字典下的稀疏表示，稀疏表示系數(shù)的個(gè)數(shù)可由經(jīng)驗(yàn)選取，一般選取2的整數(shù)次冪；

7)通過上述步驟得到的稀疏系數(shù)對(duì)原信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步包絡(luò)譜分析等處理。

2 仿真信號(hào)驗(yàn)證

構(gòu)造仿真信號(hào)的表達(dá)式為

y(t)=A0e-πfnζ(t-kτ)×

式中：A0為幅度參數(shù)；fn為振蕩頻率；ζ為衰減阻尼系數(shù)；τ為沖擊時(shí)間間隔；k為整數(shù)。

仿真信號(hào)幅值參數(shù)為5，振蕩頻率為3 000 Hz，衰減阻尼系數(shù)為0.1，假設(shè)采樣頻率為100 kHz，總時(shí)間為0.1 s，并且加入信噪比為10 dB的高斯噪聲，沖擊時(shí)間間隔為0.01 s，即仿真信號(hào)沖擊特征頻率為100 Hz，通過以上參數(shù)共同構(gòu)造仿真信號(hào)，其時(shí)域波形及包絡(luò)譜如圖2所示。從仿真信號(hào)的時(shí)域圖可以看出，沖擊峰值被噪聲淹沒，無明顯沖擊特征，而包絡(luò)譜中也無法準(zhǔn)確識(shí)別沖擊特征頻率。采用上述算法對(duì)原信號(hào)進(jìn)行處理，振蕩頻率區(qū)間設(shè)定為[1 000，5 000]Hz，Δf為50 Hz，阻尼系數(shù)區(qū)間設(shè)定為[0.01，0.3]，Δζ為0.01，稀疏系數(shù)個(gè)數(shù)設(shè)定為16，原子長(zhǎng)度0.01 s；計(jì)算得到最適應(yīng)于原信號(hào)的Laplace原子參數(shù)振蕩頻率為3 100 Hz，阻尼系數(shù)為0.1，基本符合原信號(hào)沖擊特征參數(shù)，稀疏表示結(jié)果如圖3所示。

圖2 仿真信號(hào)的時(shí)域波形及其包絡(luò)譜Fig.2 Time domain waveform and its envelope spectrum of simulation signals

圖3 仿真信號(hào)的稀疏系數(shù)及其包絡(luò)譜Fig.3 Sparse coefficient and its envelope spectrum of simulation signals

從圖3可以看出，從原信號(hào)中提取的稀疏系數(shù)能夠比較準(zhǔn)確地從信號(hào)中提取沖擊成分，提取出的沖擊頻率為101.5 Hz及其倍頻，與預(yù)設(shè)特征頻率100 Hz相符，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的可行性。

3 實(shí)際驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)算法的實(shí)用性和可靠性，采用故障試驗(yàn)臺(tái)對(duì)NTN 204型軸承進(jìn)行故障試驗(yàn)，利用線切割在軸承內(nèi)圈滾道上加工一個(gè)寬0.7 mm、深0.25 mm的凹槽，在軸承外圈滾道上加工一個(gè)寬0.3 mm，深0.05 mm的凹槽，分別模擬內(nèi)、外圈故障。通過恒轉(zhuǎn)速900 r/min的主軸驅(qū)動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)，采用加速度傳感器采集振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為100 kHz。任意截取一段內(nèi)、外圈故障振動(dòng)信號(hào)，利用改進(jìn)算法進(jìn)行分析處理。

3.1 外圈故障特征提取

所截取軸承外圈故障信號(hào)的時(shí)域波形如圖4所示。對(duì)原信號(hào)進(jìn)行快速Fourier變換頻譜分析，得出沖擊振蕩衰減頻率峰值在23 000 Hz左右，依據(jù)試驗(yàn)信號(hào)特征及多組試驗(yàn)信號(hào)處理過程的參數(shù)總結(jié)，設(shè)定振蕩頻率范圍[21 000，25 000]Hz，Δf為50 Hz，阻尼系數(shù)范圍[0.01，0.3]，Δζ為0.01，稀疏系數(shù)個(gè)數(shù)設(shè)定為32，原子長(zhǎng)度0.01 s。改進(jìn)算法得到的稀疏系數(shù)及其包絡(luò)頻譜如圖5所示。

圖4 外圈故障信號(hào)Fig.4 Fault signal in outer ring

圖5 外圈故障信號(hào)稀疏系數(shù)及其包絡(luò)譜Fig.5 Sparse coefficient and its envelope spectrum of fault signal in outer ring

從圖5可以看出，稀疏系數(shù)集中于故障信號(hào)中的4個(gè)主要沖擊成分位置，可從其包絡(luò)譜中提取出61.04 Hz的故障特征頻率，與外圈故障特征頻率理論值59.76 Hz相近。

3.2 內(nèi)圈故障特征提取

同樣截取一段內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行分析，參數(shù)設(shè)定與外圈信號(hào)分析一致，結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出，通過改進(jìn)算法處理后提取出的故障特征頻率為100.7 Hz，與內(nèi)圈故障特征頻率理論值100.97 Hz相近。雖然內(nèi)圈故障特征成分受采集傳遞路徑等因素影響在信號(hào)中表現(xiàn)較微弱，但處理結(jié)果表明改進(jìn)算法同樣適用于內(nèi)圈故障特征提取。

圖6 內(nèi)圈故障信號(hào)處理Fig.6 Processing of fault signal in inner ring

3.3 處理效率對(duì)比

對(duì)比現(xiàn)有的基于Laplace小波構(gòu)造的過完備字典稀疏表示方法，參數(shù)設(shè)定一致，內(nèi)、外圈故障信號(hào)的處理時(shí)間見表1。由表可知，稀疏表示結(jié)果相似的情況下，改進(jìn)算法所需時(shí)間明顯縮短，效率更高。

表1 算法運(yùn)算效率比較Tab.1 Comparison of computation efficiency of algorithm

4 結(jié)束語

針對(duì)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)的稀疏表示問題，提出一種基于改進(jìn)Laplace小波字典的滾動(dòng)軸承故障診斷新方法，通過優(yōu)化方法提高計(jì)算效率，并實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承故障沖擊信號(hào)的稀疏表示；通過對(duì)稀疏系數(shù)進(jìn)一步的頻譜分析，可以有效判斷滾動(dòng)軸承的故障類型。

但是，如果在計(jì)算過程中信號(hào)維度過大，依然會(huì)造成字典過大的問題，導(dǎo)致計(jì)算失敗。因此可針對(duì)這一問題，進(jìn)一步開展信號(hào)降維方法及字典結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的研究。