問題鏈教學案例：代入消元法解二元一次方程組

摘 要：本案例采用問題鏈、變式的方式，讓學生經歷“探索——發現——總結——應用”的數學活動過程，引導學生探索二元一次方程組的解法和一元一次方程之間的聯系，初步體會“消元”思想和“化歸”思想，進一步培養學生推理能力和應用意識。

關鍵詞：問題鏈；化歸思想；代入消元法

在小學階段和七年級下冊第六章，學生已經學習等式與方程、一元一次方程等知識，而“二元一次方程組的解法”是學生在掌握了一元一次方程的解法以及二元一次方程組的有關概念之后自然要解決的問題。

一、 新知學習

問題1：下列三對數值：x=2y=7，x=1y=6，x=0y=5，哪幾對是方程組y=x+53x+2y=10的解？

[設計意圖]通過如何確定“二元一次方程組的解”這一熟悉的情境引發學生對二元一次方程組及其相關概念的回憶。

問題2：對于方程組y=x+53x+2y=10，除了第三對數值是它的解，是否還存在其他解？

[設計意圖]面對這一追問，學生爭先恐后地進行解的檢驗，最后卻都無功而返。通過這個問題，激發學生對如何求解二元一次方程組產生強烈的興趣，喚起學生學習新教學點的興趣。

問題3：對于方程組y=x+53x+2y=10，它與我們之前學過的一元一次方程有什么區別？怎樣才能求出它的解呢？

[設計意圖]通過這一問題，引導學生將二元一次方程組與一元一次方程進行對比，促使學生結合解一元一次方程的方法和經驗，探索方程組的解法，讓學生充分理解本節課的重點是掌握二元一次方程組的解法，明確本節課所要學習的主要內容。

二、 自主探究

教師組織學生閱讀課本第27、28頁的“探索、觀察”，并設計以下問題：

問題4：利用書本所采用的方法，你能求出方程組y=x+53x+2y=10的解嗎？

[設計意圖]學生通過自主學習，進而獨立解決問題。在這一過程中，讓學生體會主動學習、發揮主體意識的重要性，也增強他們學習數學的信心和樂趣。

問題5：為什么可以將第①式y=x+5代入第②式3x+2y=10，依據是什么？

[設計意圖]通過這一問題讓學生提升對“二元一次方程組的解”的理解，使學生初步感受運算與邏輯思維的有機組合，借此機會，再次發展學生的運算推理能力。

問題6：為什么要將第①式代入第②式，有什么好處嗎？

[設計意圖]利用這一問題引導學生對“代入消元法”的深層次思考：“代入消元法”的本質是將復雜問題（多變量問題）轉化為簡單問題（單變量問題），也就是可以化二元為一元，最后轉化成我們所學過的一元一次方程，讓學生領悟“轉化化歸思想”的精妙之處。

三、 合作提升

問題7：現在我們將題目變式為2x-y=-53x+2y=10，大家以小組討論的形式，給出解決的辦法。（選擇個別小組，進行調板演算）

[設計意圖]原題的第①式屬于“用含一個未知數的代數式表示另一個未知數”的形式，而該變式則將其打回原形。學生在面對該問題時（這也是本節課的難點之一），會產生較大的困惑：無法像原題那樣直接代入消元。這一困惑將再一次激發學生探索的欲望和突破難點的興趣，進而通過合作學習，共享集體思維成果，進一步達到對“代入消元法”更為全面的理解：用含一個未知數的代數式表示另一個未知數是代入消元法的基礎。

四、 引導發展

在問題7的調板演算過程中，學生給出以下兩種形式的解答：

方法一：由①得y=2x+5，……③

將③代入②，得3x+22x+5=10

解得x=0

將x=0代入③，得y=5

所以方程組的解為x=0y=5

方法二：由①得x=y-52，……③

將③代入②，得3·y-52+2y=10

解得y=5

將y=5代入③，得x=0

所以方程組的解為x=0y=5

教師針對學生出現的兩種“用含一個未知數的代數式表示另一個未知數”形式：y=2x+5以及x=y-52進行適當的點撥、總結：兩種方法都能準確應用“代入消元法”進行求解，實現消元的目的，也體現了化歸轉化思想，應給予充分肯定。但是方法一選擇系數比較簡單的形式，更方便后面的運算。

[設計意圖]教師適時適當的點評，親切而又充滿鼓勵的言語，可以增強學生主動學習的信心，鼓舞學生的士氣，讓學生享受成功的喜悅。

問題8：大家能總結用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟嗎？

[設計意圖]學生通過“探索——發現——總結——應用”的數學活動過程，體會二元一次方程組的解法和一元一次方程之間的聯系，進一步培養學生推理能力和應用意識，并從中體會消元思想和化歸轉化思想。

五、 成效評價

1. 把下列各式用含x的代數式表示y：（1）2x-y=4 （2）3x+2y=17

2. 用代入消元法解方程組：（1）x=3y+2x+3y=8 （2）2x-y=83x+2y=6

[設計意圖]學生利用以上練習，進行自我檢測。教師針對學生的練習效果，及時發現學生薄弱環節，并給予鞏固加強，查漏補缺。

3. 如果方程組2x+3y=7x-3y=-1的解是方程3x+my=8的一個解，求m的值。

[設計意圖]作業分層處理有較大的彈性，體現作業的鞏固性和發展性原則，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數學上得到不同的發展。

作者簡介：劉振龍，福建省泉州市，泉州市培元中學。