基于Monte-Carlo法的滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性隨機振動可靠性分析

胡明用，李昌，韓興，李云飛，陳宇

(1.遼寧科技大學 機械工程與自動化學院，遼寧 鞍山 114051；2.中國能源建設集團東北電力第一工程有限公司，沈陽 110179)

隨著高鐵和航空航天等技術迅猛發(fā)展，滾動軸承作為關鍵支承部件，對其研究也不斷地深入。滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一種復雜的非線性振動系統(tǒng)，由于接觸非線性和間隙非線性耦合導致系統(tǒng)表現(xiàn)出復雜的動力學行為，其中包括周期振動、準周期振動和混沌振動，尤其混沌振動的位移具有不確定性和不可預測性[1-4]。由于環(huán)境和人為因素的客觀存在，使得系統(tǒng)中零件的幾何尺寸、材料特性、加工誤差和系統(tǒng)的工況參數(shù)都是隨機變化的，從而導致系統(tǒng)響應存在隨機性,而這種隨機性必會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性，因此，如何定量計算隨機參數(shù)狀態(tài)下系統(tǒng)的非線性隨機振動可靠度就成為了關鍵問題。文獻[5]基于齒輪動力學模型建立了齒輪傳動系統(tǒng)耦合振動的可靠性模型，解決了齒輪耦合振動的可靠性分析和可靠性靈敏度分析的問題；文獻[6]以汽輪機扭葉片為研究對象，在考慮幾何因素、安裝因素、材料因素和轉(zhuǎn)速隨機性的同時，將確定性有限元法、響應面方法和Monte-Carlo模擬法相結合對葉片進行振動可靠性分析。但運用可靠性理論對滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行非線性隨機振動可靠性分析還比較少。

以滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)x方向振動位移為例，基于Monte-Carlo法，多次重復抽樣并統(tǒng)計分析模擬得出其分布和可靠度，同時分析可靠度對某些隨機參數(shù)的敏感性，以克服以往滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可靠性設計中難以獲得大樣本數(shù)據(jù)的問題，為滾動軸承設計制造和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性研究提供參考。

1 滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學方程的建立

假設滾動體等距離分布在內(nèi)外圈滾道之間，以相同的速度在內(nèi)外圈滾道間做純滾動，且保持架與滾動體不發(fā)生相對滑動。滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型如圖1所示，第j個滾動體在t時刻的位置角為

圖1 滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型Fig. 1 Model of rolling bearing-rotor system

(1)

式中：Z為滾動體數(shù)目；ω為滾動體的公轉(zhuǎn)角速度。

當徑向游隙為Gr，則彈性接觸變形為

uθj=xcosθj+ysinθj-Gr,

(2)

式中：x，y分別為轉(zhuǎn)子軸心在垂直和水平方向上的位移。

由Hertz接觸定理[7]得滾動軸承的非線性接觸力Q，將其分解到x和y方向為

(3)

式中：Ki和Ke分別為滾動體與內(nèi)、外圈之間的接觸剛度；下標“+”表示只計入uθj的正值；當uθj≤0時，表示滾動體與內(nèi)、外圈不接觸，彈性變形量為0。

系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，根據(jù)Lagrange方程建立系統(tǒng)動力學方程為

(4)

式中：m為系統(tǒng)質(zhì)量；c為系統(tǒng)的阻尼；e為系統(tǒng)的不平衡量偏心距；Fr為作用在轉(zhuǎn)子上的恒定徑向力。

2 Monte-Carlo模擬方法及可靠性分析

Monte-Carlo法又稱統(tǒng)計模擬試驗法或隨機模擬法，主要思想是要建立與所求問題相對應的一個隨機概率模型，其中，模型中含有某個隨機變量，使這個隨機變量的某個數(shù)字特征(如概率、期望等)正好是所求解問題的解；繼而對建立的數(shù)學概率模型進行隨機試驗獲得關于隨機變量的大量抽樣值；然后用統(tǒng)計學的方法來求出這個隨機變量數(shù)字特征的估計值，進而求解工程技術問題的近似解[8]。該方法在解決復雜工程系統(tǒng)和軍用裝備的系統(tǒng)可靠性分析中具有獨特的優(yōu)勢，例如：1)小樣本下可靠度和壽命的評估近似方法；2)大型復雜的可修復系統(tǒng)可靠性分析方法；3)多種分析方法的適用性分析和方法選優(yōu)。利用Monte-Carlo法求解工程中的可靠性問題，既能保證結果的準確性，又適用于各種分布。加之近年來計算機迅猛發(fā)展，使用Monte-Carlo法在計算機上大量且快速模擬這些試驗成為了可能。

限于篇幅，文中將以系統(tǒng)x方向振動位移為例分析其可靠性。基于Monte-Carlo法的可靠性分析基本步驟如下：

1) 選取m，c，e，F(xiàn)r，轉(zhuǎn)速n和Gr為隨機參數(shù)，假設這6個隨機參數(shù)均服從正態(tài)分布，其余參數(shù)為常數(shù)。在MATLAB中通過normrnd函數(shù)隨機抽樣N次，N一般要求不小于1 000，生成上述隨機參數(shù)的正態(tài)分布隨機數(shù)組Xk=(m,c,e,Fr,n,Gr),k=1,2,…,N。

3) 將第k組Xk=(m,c,e，F(xiàn)r,n,Gr)代入系統(tǒng)動力學方程中求得xk，然后將其代入振動位移可靠性極限方程中得到Zk的值。

MATLAB求解過程如圖2所示。

圖2 可靠性分析程序框圖Fig.2 Block diagram of reliability analysis program

3 計算實例與分析

以某深溝球軸承為例分析系統(tǒng)的x方向振動位移可靠性，軸承結構參數(shù)見表1[9]，系統(tǒng)隨機參數(shù)及其統(tǒng)計特性見表 2。

表1 軸承結構參數(shù)Tab.1 Structural parameters of bearing

表2 隨機參數(shù)及統(tǒng)計特性Tab.2 Random parameters and statistical characteristics

3.1 系統(tǒng)振動位移可靠性分析

在上述假設條件下，通過Monte-Carlo法進行3組抽樣，抽樣次數(shù)依次為5000，10000和15000，依次模擬t=500 s時的x方向振動位移的概率分布。圖3—圖5分別為3組抽樣結果，其中包括x方向位移的抽樣歷程、概率分布圖和頻數(shù)分布直方圖。每組抽樣概率分布圖中，x方向位移離散點近似為一條直線段；每組頻數(shù)分布直方圖中擬合出了正態(tài)分布曲線，隨著抽樣次數(shù)的增加，擬合越接近正態(tài)分布曲線。由此可知，x方向位移模擬結果近似服從正態(tài)分布。

圖3 第1組抽樣Fig.3 First group samplings

圖4 第2組抽樣Fig.4 Second group samplings

圖5 第3組抽樣Fig.5 Third group samplings

不同抽樣次數(shù)下，x方向位移可靠度計算結果見表3。由表可知，隨著抽樣次數(shù)增加，可靠度也隨之增大，最后趨于穩(wěn)定。本例中可靠度在0.98以上，抽樣次數(shù)達到15 000時可靠度穩(wěn)定，為0.985 1。

表3 x方向位移可靠度計算結果Tab.3 Reliability calculation results of displacement along x direction

3.2 可靠度對隨機參數(shù)的敏感性分析

可靠度對隨機參數(shù)的敏感性分析是可靠性研究領域的一個重要方面，對基于可靠度的設計、優(yōu)化和可靠謊報校驗十分必要，也可進一步提高估算可靠度的計算效率[10]。如果可靠度對某個隨機參數(shù)的敏感性較大，則該隨機參數(shù)在設計過程中要盡量精確；反之，該隨機參數(shù)可做常數(shù)處理，以減少計算量。

限于篇幅，只繪出x方向位移可靠度隨徑向力Fr和徑向游隙Gr、偏心距e和系統(tǒng)質(zhì)量m、阻尼c和轉(zhuǎn)速n、徑向力Fr和系統(tǒng)質(zhì)量m的三維變化曲面，分別如圖6—圖9所示。在單個隨機參數(shù)服從正態(tài)分布，均值連續(xù)變化，標準差不變，其他隨機參數(shù)為常數(shù)情況下，計算其可靠度結果如圖10所示。各個隨機參數(shù)下的x方向位移可靠度均值和方差見表4。由圖6—圖10和表4可知，x方向位移可靠度對阻尼c、徑向力Fr和偏心距e的敏感性較大，其中Fr最大，c和e次之，故在設計中盡量給出其精確值；而x方向位移可靠度對轉(zhuǎn)速n、徑向游隙Gr和系統(tǒng)質(zhì)量m的敏感性相對很小，其中n最小，故可做常數(shù)處理。

圖6 x方向位移可靠度隨Fr和Gr變化的三維曲面Fig.6 3D surface of reliability of displacement along x direction as Fr and Gr change

圖7 x方向位移可靠度隨e和m變化的三維曲面Fig.7 3D surface of reliability of displacement along x direction as e and m change

圖8 x方向位移可靠度隨c和n變化的三維曲面Fig.8 3D surface of reliability of displacement along x direction as c and n change

圖9 x方向位移可靠度隨Fr和m變化的三維曲面Fig.9 3D surface of reliability of displacement along x direction as Fr and m change

圖10 x方向位移可靠度隨各個隨機參數(shù)的變化圖Fig.10 Relationships between reliability of displacement along x direction and some random parameters

表4 可靠度的均值和方差Tab.4 Averages and variances of reliability

4 結論

1)在假設各個隨機參數(shù)服從正態(tài)分布情況下，基于Monte-Carlo法，多次重復抽樣并統(tǒng)計分析模擬得出t=500 s時x方向振動位移近似服從正態(tài)分布，且抽樣次數(shù)越多，擬合精度越高。

2)隨著抽樣次數(shù)增多，x方向振動位移可靠度逐漸增大且趨于穩(wěn)定，可靠度誤差越小。當抽樣次數(shù)達到15 000時可靠度穩(wěn)定，為0.985 1。

3)分析x方向振動位移可靠度對各個隨機參數(shù)的敏感性，x方向振動位移可靠度對阻尼c、徑向力Fr和偏心距e敏感性較大，其中Fr最大，c和e次之，故在設計中盡量給出其精確值；而x方向振動位移可靠度對轉(zhuǎn)速n、徑向游隙Gr和系統(tǒng)質(zhì)量m敏感性相對很小，其中n最小，故可做常數(shù)處理，以減少計算量。