抓住關(guān)鍵學(xué)好函數(shù)的單調(diào)性

曹振財

摘 要 在函數(shù)教學(xué)中要抓住關(guān)鍵，掌握好知識，就能熟練解決與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題。

關(guān)鍵詞 抓住關(guān)鍵；函數(shù)；單調(diào)性

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）31-0214-01

對于一些高次的或非常規(guī)的與函數(shù)的單調(diào)性相關(guān)的問題，要借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系來求解。只要抓住關(guān)鍵，用好知識，就能熟練解決與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題。

一、函數(shù)單調(diào)性的定義及應(yīng)用

在函數(shù)的單調(diào)性的定義中有三個條件：

1.給定區(qū)間內(nèi)任意兩個自變量 與 的大小；

2.對應(yīng)函數(shù)值 與 的大小；

3.函數(shù)的單調(diào)性。

在這三個條件中“知二定一”，即若已知給定區(qū)間內(nèi)任意兩個自變量 與 的大小和對應(yīng)函數(shù)值 與 的大小，則可確定函數(shù) 在該區(qū)間上的單調(diào)性；若已知給定區(qū)間內(nèi)任意兩個自變量 與 的大小和函數(shù)的單調(diào)性，則可確定對應(yīng)函數(shù)值 與 的大小；若已知函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值 與 的大小，則可確定 與 的大小。抓住這個關(guān)鍵，應(yīng)用起來就得心應(yīng)手。

應(yīng)用舉例如下：

題型一：判斷函數(shù)的單調(diào)性

例1：已知函數(shù) 判斷該函數(shù)在 的單調(diào)性，并給予證明。

分析：因為 故函數(shù) 上是減函數(shù)，可直接用定義證明。

解： 上是減函數(shù)，證明如下：

任取 則

即 ，

故函數(shù) 在區(qū)間 是減函數(shù)。

規(guī)律方法：在證明函數(shù)單調(diào)性時，通常先在給定區(qū)間內(nèi)任取 ， 且 ，然后判斷 與 的大小，由定義可判斷函數(shù)的單調(diào)性，即由條件1，2知條件3。

題型二：比較函數(shù)值的大小

例2：設(shè)函數(shù) 是區(qū)間 上的減函數(shù)，試比較 與 的大小關(guān)系。

分析：已知函數(shù) 的單調(diào)性，比較兩個函數(shù)值 與 的大小，可以轉(zhuǎn)化為判斷 的取值范圍以及 與 的大小關(guān)系。

解： 且 在 上是減函數(shù)。

規(guī)律方法：此類題實質(zhì)上是單調(diào)性的運用問題，在已知函數(shù)的單調(diào)性和自變量的大小時，可比較對應(yīng)函數(shù)值得大小，即由條件1，3知條件2。

題型三：解抽象不等式

例3：已知 在定義域 上是減函數(shù)，且 ，求 的取值范圍。

分析：由于函數(shù) 是定義在 上是減函數(shù)，且 ，所以由單調(diào)函數(shù)的定義可知 且 解此關(guān)于 的不等式組，即可求出 的取值范圍。

解：由題意可得

規(guī)律方法：此類問題往往沒有給出具體的解析式，只需根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，直接由函數(shù)值的大小關(guān)系來比較自變量的大小，即由條件2，3知條件1。

由上例可見：與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題，只要找準(zhǔn)了三個條件中的兩個，就可確定第三個，從而熟練運用函數(shù)單調(diào)性的定義解題。

當(dāng)然，用函數(shù)的單調(diào)性的定義能幫我們解決一些簡單的與函數(shù)的單調(diào)性相關(guān)的初等問題，對于一些相對復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問題，還是要借助導(dǎo)數(shù)來求解。

二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用

導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下的關(guān)系：

如果在某個區(qū)間內(nèi)，都有函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ，那么在這個區(qū)間上，函數(shù) 是增加的；

如果在某個區(qū)間內(nèi)，都有函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ，那么在這個區(qū)間上，函數(shù) 是減少的；

如果在某個區(qū)間內(nèi)，都有函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ，那么在這個區(qū)間上，函數(shù) 為常函數(shù)，不具有增減性。

但是，對于可導(dǎo)函數(shù)來說， 是函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增（減）的充分不必要條件。即 在 上，若 ，則 在區(qū)間 上是增（減）函數(shù)；但若 在區(qū)間 上是增（減）函數(shù)，則 。

綜上，只要抓住關(guān)鍵，用好以上的知識，就能熟練解決與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題。