不同方法測彈簧勁度系數在不同數據處理方法中的結果比較分析

苑曉杰

摘 要：本文以測量彈簧的勁度系數實驗為例，在胡克定律原理與測量振動周期兩種不同的實驗方法下，用逐差法、線性擬合法、最小二乘法三種不同的數據處理方法做橫向與縱向的比較分析，研究在不同的實驗方法下用不同的數據處理方法所得值的準確性。

關鍵詞：彈簧勁度系數 逐差法 線性擬合法 最小二乘法

引言

測量彈簧的勁度系數有不同的實驗方法，例如用集成霍爾傳感器、新型焦利稱、氣軌上的簡諧振動等測定彈簧的勁度系數，但是把這些整合在一起作比較的內容很少，筆者力圖通過以測量彈簧的勁度系數為例，在胡克定律原理與測量振動周期兩種不同的實驗方法下用逐差法、線性擬合法、最小二乘法三種不同的數據處理方法，做橫向與縱向的比較分析，研究在不同的實驗方法下用不同的數據處理方法所得到的誤差何時可以最小。[1]

一、實驗測量方法及實驗數據處理方法原理

1. 實驗測量方法

（1） 胡克定律法原理

胡克定律原理：彈簧在發生形變時，彈簧的彈力F和彈簧的形變量（伸長量或壓縮量）△x成正比，即F= -k·△x。其中k是勁度（倔強）系數。 在此實驗中，通過測量施加給彈簧的負載重量，以及相應的形變量，在多次實驗下測量彈簧的勁度系數。[2]

方法：在鐵架臺上掛一空彈簧，利用“三線對齊”（即反光鏡A上的水平刻線、玻璃管B的水平刻線和玻璃管水平刻線在反光鏡C中的像重合）的方式記錄此時的刻度x，然后每次增加一個砝碼，記錄一次它的刻度值。每次增加的砝碼的質量是一樣的，測量六次。

實驗中使用的砝碼和彈簧情況如下：砝碼：共5只，空托盤的編號記為1，其余五次編號為2、3、4、5、6。

質量分別為0、40g、60g、80g、100g、120g。

（2）約利稱法原理

設彈簧的勁度系數為k，懸掛的負載的質量為m， 為彈簧自身的質量，彈簧的振動周期的公式為 ，

2. 實驗數據處理方法

（1）逐差法原理

由于隨機誤差具有抵償性，多次測量求平值可以減少這種誤差，但是，當自變量與因變量成線性關系時，對于自變量等間距變化的多次測量，會使中間測量的數據由于兩兩抵消，而失去求平均值的意義。為了彌補這種缺憾，可以將測量得到的數據按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組， 先求出兩組中對應項的差值，后取平均。[3]

設已知x ， y 為線性關系： y= bx+a， 其中a ， b 為待定常數，測量n組x、y的值，取偶數n =n，或n =n-1，將n 組數據分成兩半，分別求

以上過程討論的要求是：

①測量值 的誤差對a、b的影響，遠小于 的誤差影響；

②原則上要求因變量 的誤差互不相關且分布特征大致相同，如標準偏差 大致相同。[5]

二、實驗數據及處理

三、計算結果的比較分析

1.相同方法測量實驗中，不同數據處理方法所得結果的比較分析

（1）胡克定律法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結果分析

在此實驗測量方法下，由 得，截距越接近零值，測量結果是越準確的，用逐差法、線性擬合法、最小二乘法分別得到的截距 ①， ， ，并且從后兩種方法的相關系數 1，以及最小二乘法在只能保留小數點后四位的程度下 ，均可得出逐差法相對而言是誤差較大的一種方法，比較截距可以得出線性擬合法是這三種方法當中較為準確的一種方法。

（2）約利稱法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結果分析

在此實驗測量方法下，由 得，在線性擬合法與最小二乘法的計算情況下，所得的相關系數分別為：

1， ，可得出最小二乘法的相關系數更接近1，但相差不大（ ）。

2.不同方法測量實驗中，相同數據處理方法所得結果的比較分析

（1）線性擬合法：胡克定律法與約利稱法所得結果的比較分析

胡克定律和約利稱方法測量下的到的相關系數分別是：

。

標準偏差分別是：

， 比 更接近1， 比 更接近0，由此可以看出胡克定律的測量方法所得結果更接近真實值。

（2）最小二乘法：胡克定律法與約利稱法所得結果的比較分析

胡克定律方法測量下得到的相關系數分別是：

y和k的標準偏差分別是：

， ，從二者比較可以看出胡克定律的測量方法所得結果更接近真實值，誤差較小。

結語

1.在胡克定律法測量實驗中，線性擬合法是誤差最小，測量結果最接近真實值的；逐差法的誤差是相對線性擬合法和最小二乘法誤差較大的一種處理數據的方法。在逐差法中，根據結果分析，約利稱法比利用胡克定律原理測量得到的值更準確。在手寫計算時，逐差法是相對簡單、快速的方法，但在有計算機處理數據的時代，它的優點就沒有那么突出.

2.在約利稱的實驗方法下，最小二乘法比線性擬合法更接近真實值，但相關系數相差不大。

3.在1和2結論的基礎上，并不能說明線性擬合法和最小二乘法哪一種方法更好，還要考慮到實驗用的具體測量方法，因此在選擇測量方法時，要根據具體的實驗原理，選擇合適的數據處理方法，才能盡可能讓誤差最小。在本次研究中，在胡克定律的原理下用線性擬合法誤差較小，在約利稱法的實驗中，用最小二乘法誤差較小。

4.從橫向進行比較，即在相同的數據處理方法下，利用胡克定律原理下線性擬合的處理方法最為準確。胡克定律法比約利稱法更接近真實值。

原因分析：約利稱法測量過程中，誤差相對較大。誤差主要體現在秒表測周期時的讀數誤差、彈簧初始位置的不一致以及彈簧作簡諧振動時與鏡面的摩擦、負載較大時上下振動時略偏離豎直方向等造成的。而在利用胡克定律的實驗中，讀數時彈簧是靜止的，干擾因素較少，因此相比較而言，誤差較小，勁度系數更接近真實值。

5.綜上，最接近彈簧勁度系數的真實值的是k=7.9242N/m.

附錄

①文中出現的任意字母的下標含義： 中當 時表示在第一種胡克定律或第二種約利稱的測量方法下，當 時，分別表示在第一種逐差法測量方法下，第二種線性擬合法的測量下，以及第三種最小二乘法的測量方法下。例如： 表示的含義是在利用胡克定律的測量中，用線性擬合法測得的相關系數。

參考文獻

[1]楊述武，趙立竹，沈國土主編.普通物理實驗1力學、熱學部分.4版.高等教育出版社，2007.12

[2]鄒樂強.最小二乘法原理及其簡單應用.科技信息.職校論壇.2010年第23期

[3]呂大韻.逐差法處理實驗數據的討論.武漢交通科技大學基礎課部.物理通報.1999年第10期

[4]焦麗鳳，陸申龍，曹正東.用集成開關型霍爾傳感器測定彈簧的勁度系數.物理實驗（第20卷 第11期）

[5]軒植華.回歸法與作圖法求解實驗方程之比較.科技大學與應用物理系.2000.20（20）